알티수학 쌤이 쉽게 설명해주는 유리함수 합성을 행렬로 계산할 수 있는 이유 (feat. 동차좌표계, 뫼비우스 변환, 군 준동형사상)
이 글에서는
동차좌표계의 직관적인 개념을 알려드리고
유리함수 합성과 행렬 곱셈이 어떻게 연관되는지
보여주고, 관련 예제도 풀어 드립니다.
1. 동차좌표계
(Homogeneous Coordinates)
실수 x 를 다룰 때 실수 x 에 기하적 의미를 두면
도움이 되는 경우가 많습니다.
보통 가장 많이 쓰이는 실수 x 의 기하적 의미는
수직선상에서 원점을 기준으로한 점의 위치를 x 라는
좌표로 생각할 수 있습니다.
독일의 수학자
아우구스트 페르디난트 뫼비우스
(August Ferdinand Möbius)는
1827년에 출간한 본인의 책
'Der barycentrische Calcul(중심좌표 계산법)' 에서
매우 신박한 개념을 고안했습니다.
실수 x 를 원점을 지나는 직선 y=mx 의 기울기 m 에
대응시키는 것이었습니다.
여기서, x 와 m 은 일대일대응이 되지만,
조금 변형해서, m 대신
y=mx 위의 임의의 점 (t,s) 를 x 와 대응시킵니다.
이 때, x= m = s/t 가 되죠.
즉, 실수 x 를 2차원 좌표 (t,s) 에 대응시키는겁니다.
약분이 가능하므로, 임의의 실수 k 에 대해
x=(t,s)=(kt,ks)
가 성립합니다. 참고로,
이렇게 스칼라배를 했을때 본질이 바뀌지 않는 것을
동차성(Homogeneity) 이라 합니다.
그래서,
실수 x 를 좌표 (t,s) 로 대신하는것을
동차좌표계라고 합니다.
동차좌표는 컴퓨터 그래픽, 로봇공학, 사영기하,
선형대수학, 현대대수학(군론)에서 필수적으로
사용되는 수학적 도구인데,
컴퓨터공학, 물리학 또는 수학을 전공하면
학부3학년 정도에서 배우게됩니다.
2. 유리함수를 행렬로 바꾸는 법
이제, 고1 과정에 나오는
아래와 같은 유리함수를 생각해봅시다.
이 함수는 실수 x 를 받아서
를 만들어 주는 역할을 합니다.
이제,
실수 x 를 동차좌표 (t,s)로 대응시켜 보겠습니다. 즉,
로 두고 f(x) 를 다시 써 보면 아래와 같습니다.
이고, 분자와 분모에 t 를 곱해서 정리하면,
가 됩니다.
동차좌표계의 충격적인 효과가 보이시나요?
f(x) 와 달리 f(s/t) 는 일차결합으로 바꼈습니다.
대박사건입니다.
f(s/t) 는 두 실수 t, s 를 받아서
를 만들어 줍니다.
즉, 아래와 같은 행렬 곱셈과 같습니다.
이와같이, 동차좌표계를 쓰면
유리함수(정확하게는 1차 분수함수)가
일차변환과 같은 기능을 하게 됩니다.
요약하자면,
실수 x 를 (t, s) 로 바꿔서
행렬계산으로 처리하고 나온 결과가
이고, 여기서 분자와 분모에 t 를 나누면
에서, 약분하고 정리하면,
가 되고, s/t = x 를 되돌리면
가 됩니다.
즉, 유리함수는 일차변환입니다.
그러면, 자연스럽게
유리함수의 합성은 변환행렬의 곱이고
역변환은 유리함수의 역함수임을
쉽게 확인할 수 있습니다.
3. 뫼비우스 변환
아래 유리함수의 x 를 복소수로 생각한 것을
뫼비우스 변환이라고 합니다.
복소평면에서,
a 와 d 는 확대(축소)와 회전을 결정하고,
b 는 평행이동을,
c 는 반전과 중심이동을 결정합니다.
뫼비우스 변환은 복소함수, 기하학, 물리학,
컴퓨터 공학에서 중요하게 사용됩니다.
4. 군 준동형사상(Homomorphism)
참고로, 이렇게 동일한 대수적구조를 갖는 함수를
군 준동형사상이라고하는데,
군론(현대대수학)에서 다루는 한 주제 입니다.
유리함수를 행렬로 계산하는 원리는 대부분
간명함을 위해 군 준동형사상으로 증명하고 있는데
이 부분은 다음에 따로 알려드리겠습니다.
아래에는 행렬 계산으로 몇 개의
유리함수 문제를 풀어보겠습니다.
5. 예제 (1)
주어진 함수 f 에 대응하는 행렬은
이고, 아래와 같이 빠르게
거듭제곱 계산을 몇번 해봅니다.
규칙성은 쉽게 보이네요.
따라서,
이므로,
에서,
으로 답을 구할 수 있죠.
동차좌표계를 이해했다면,
1= 1/1 이므로, 이후에 아래와 같이
처리할 수 있습니다.
6. 예제 (2)
주어진 함수 f 에 대응하는 행렬은
이고, 이것을 500번 곱합니다.
초반 몇 개를 해보면,
이고, 한 번 더 해보면,
여기서 -8 은 버리고 진행해도 됩니다.
(동차좌표계의 정의 그자체죠.)
역함수 g 는 역행렬로 계산하면,
이고, 여기서 1/16 은 떼서 버리고,
로 계산하면 답이 6 이 됩니다.
물론, g(x) 를 구해서 처리해도 됩니다.
에서,
7. 예제 (3)
주어진 함수에 대응하는 행렬은
이고, f 의 역함수를 구하면,
여기서, 1/-3 은 떼서 버립니다.
을 먼저 구하고,
임을 알고 있으므로,
입니다. 이것을 이용해서 함수 g 를 구합니다.
나머지 계산을 하면,
입니다.
8. 예제(4)
일차함수도 잘 계산 됩니다.
주어진 함수에 대응하는 행렬은
이고,
를 계산하면 되죠.
이고,
이므로,
에서,
가 됩니다.
오늘은 이만...
즐거운 수학공부 되십시오~