롤의 정리를 이용한 다항 방정식의 실근의 개수 분석 예제 해설 (feat. 데카르트 부호법칙, preCalculus)
오늘은 최근 학교 수학동아리
연구문제 중에 실근 갯수에 관한 문제를
분석해 보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
롤의 정리 (Rolle's theorem) 쓰면
딱이겠네요.
1. 잠깐 복습
롤의 정리는 아래와 같습니다.
실근에 관한 내용으로
조금 다듬어 보면 아래와 같습니다.
이 문제에서는 실근의 갯수의 최댓값을 따지므로
위 따름정리의 대우를 쓰겠습니다.
2. 롤의 정리로 풀이
f(x) 에서 먼저 공통인수를 꺼냅니다.
중복도가 m 인 x=0 이라는 실근을 가지고,
뒷부분
의 실근을 더 확인하면 됩니다.
뒷부분의 방정식은 x=0 을 더이상 갖지 않아서
c ≠ 0 입니다.
편의상, 이 좌변을 g(x) 로 정의하겠습니다.
지수부분이 눈에 좀 거슬리므로
아래와 같이 바꿔주겠습니다.
여기서,
c ≠ 0 인 것 잊지 마시고요.
미분을 합니다.
여기서, 영점(zero)을 찾습니다.
① 앞쪽의
은
K>1 이면 x=0 을 실근으로 가지고,
K=1 이면 해가 없습니다.
② 뒤쪽의
은
N-K 가 짝수일 때, 최대 2개의
0 아닌 실근을 가집니다.
N-K 가 홀수일 때, 0 아닌 실근 하나를 가집니다.
따라서, ①, ② 에 의해
을 갖습니다.
그러면
앞의 롤의 정리의 따름정리의 대우에 의해
을 가지고,
c ≠ 0 이므로, 이 4개는 0 이 아닌 실근입니다.
따라서,
이므로,
서로 다른 실근의 개수의 최댓값은 5 가 됩니다.
만약, 중복도를 고려한다면,
이므로,
입니다.
3. 데카르트 부호법칙을
이용한 풀이
롤의 정리가 아니라도
이런류의 문제에 특화된 수학적 도구가 있습니다.
아쉬운점은
데카르트 부호법칙은 고교 교과과정이 아니므로
분위기 봐가면서 사용해야 합니다.
(수능에서 가끔 그래프 개형 간단하게 추론하는데
쓰면 편하지만, 굳이 필요하다는것은 아닙니다.)
반면에 데카르트 부호법칙은
preCalculus 에서는 왕기본에 해당하는 지식입니다.
참고로,
우리나라에서 공통수학 대신 프리캘을 배우는 곳은
한과영 같은 학교가 있습니다.
데카르트 부호법칙의 증명은
수학적귀납법을 쓰는데, 짧지 않고, 쉽지 않습니다.
(그렇다고, 어렵지는 않습니다.
다음에 한번 정리해서 블로그에 올리겠습니다.)
예전에, 제가 수업하던 중2 학생에게
심심하면 증명 해보라 시켰더니
한시간 남짓 끄적거리더니 연습장에 써서
저에게 보여줬던 기억이 나네요.
(이 친구 얼마전에 의대 들어갔습니다.)
그러면 이 문제를 다시 한 번 보겠습니다.
처음에 중복도 m 인 x=0 을 따로 꺼내두고,
시작하는것 까지는 똑같습니다.
여기서,
라 하고,
로 두는 것까지 동일합니다. (c ≠ 0)
그리고나서,
아래와 같이 데카르트 부호법칙을 씁니다.
이제, 음의 실근도 체크해보겠습니다.
따라서, 정리하면,
가 됩니다.
앞의 롤의 정리와 같은 결론이죠.
그럼 이만,
즐거운 수학 공부 되십시오~
저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.
