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적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명

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이 글에서는 정적분에서 종종 나오는

부등식 하나를 살펴보겠습니다.

정적분에서 아래와 같은 부등식을

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)

이라고 합니다.

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 1

단, 여기서 f(x) 는 적분 가능한 함수이고,

a ≤ b 입니다.

이 때, 등호가 성립할 조건은

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 2

또는

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 3

입니다.

이 부등식은 고교 교과서에

명시적으로 수록되어 있지는 않습니다만

ㄱ, ㄴ, ㄷ 문제로 출제되기도하고

특정 정적분 문제 풀이에서 유용하게 사용됩니다.

1. 증명 (1)

고등학교 교과서에는 아래 두 성질이

적절하게 있습니다.

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 4

성질 1은 공통수학에서 쉽게 추론되고,

성질 2는 수2(미적분1)와 미적분(미적분2)에

있습니다.

그러면, 이 두 성질로 부터 증명이 가능합니다.

① 앞의 성질 1에 의해 아래 부등식이 항상 성립합니다.

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 5

② 여기서, 앞의 성질 2에 의해 아래

부등식이 성립하죠. (a ≤ b)

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 6

③ 앞의 성질 2에 의해 이제 아래

부등식도 성립합니다. (a ≤ b)

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 7

좌변의 마이너스를 빼내면

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 8

입니다.

④ 이제, (ㄱ), (ㄴ) 을 같이 쓰면

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 9

입니다. 이것을 아래와 같이 고쳐 쓰면

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 10

이 되어 증명이 완료 됩니다.

등호가 성립할 조건은 ① 에서 부터

연결해서 종합해보면

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 11

또는

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 12

가 됩니다.

2. 증명 (2)

이번에는 정적분의 정의를 써 보겠습니다.

정적분은 아래와 같이

리만 합의 극한으로 정의되죠.

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 13

여기서, 양변에 절대값을 취하면,

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 14

이고, y=|x| 는 연속함수이므로,

우변의 lim 을 절댓값 기호 밖으로

뺄 수 있습니다.

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 15

시그마에 의한 합에 대한 삼각부등식

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 16

을 적용하면,

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 17

이 됩니다.

이 때, △x>0 이므로, 절댓값 밖으로 빼면

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 18

이고, 이것은 새로운 리만 합의 극한이므로

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 19

의 정의가 됩니다. 따라서,

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 20

가 증명되었습니다.

등호가 성립할 조건은

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 21

의 등호조건을 이어받는데,

모든 z_k 가 0 이상이거나,

0 이하일 때 입니다.

따라서,

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 22

인데, 이것은 극한에 의해

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 23

또는

적분 삼각 부등식(triangle inequality for integrals)의 두 가지 증명 — 그림 24

가 됩니다.

3. 왜 '삼각'부등식인가?

앞의 증명은 적분의 성질에 의한 증명으로

대부분의 미적분학 교재(Stewart, Thomas 등)에서

이 방법을 선호합니다.

뒤의 증명은 '정적분의 정의'를 써서

원초적으로 보여주는데

이 과정에서 왜 삼각부등식인지

알 수 있습니다.

해석학이나

미적분을 처음부터 엄밀하게 쌓아올리는 교재

(Spivak 등) 에서

이 방법을 좋아하는것 같네요.

고등학교 문제를 푸는 상황에서는

적당히 그래프와 넓이로 생각해도 충분합니다.

저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.

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