알티 수학 쌤 피보나치 꿀팁: 피보나치 수의 합과 교대합의 두 가지 증명과 암기법
이 글에서는 피보나치 수의 중요한 공식
두 가지를 알려드리겠습니다.
이 글에서 피보나치 수는
아래와 같이 정의하겠습니다.
1. 피보나치 수의 합
피보나치 수의 합은 피보나치에서
가장 자주나오는 공식입니다.
모든 자연수 n 에 대해
아래와 같은 관계식이 성립합니다.
즉,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
로 진행하는 피보나치 수열에서
1+1+2+3+5+8 = 21-1
이 되는겁니다.
2. 합공식 증명 (1)
피보나치 수에 관한 공식들은
텔레스코핑 계산을 활용하는 문제가 많습니다.
앞 1의 합공식도 텔레스코핑으로
한 번 유도해보겠습니다.
을 이항해서
로 쓰고, 텔레스코핑 합을 계산하면
간단히 유도 됩니다.
에서, 남은 항을 처리하면,
로 증명이 완성 됩니다.
3. 합공식 증명 (2)
이번엔
만능 툴인 수학적 귀납법으로 해보겠습니다.
4. 피보나치 수의 교대합
이번엔 피보나치 수의 교대합을 해볼께요.
(요즘 가끔, 고1 내신에서 보이기도 합니다.)
모든 자연수 n 에 대해
아래와 같은 관계식이 성립합니다.
여기서,
으로 생각하면 됩니다.
즉,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
로 진행하는 피보나치 수열에서
-1+1-2+3-5+8-13+21 = 13-1
이 되는겁니다.
5. 교대합 공식 증명 (1)
이것도 텔레스코핑 계산으로 해볼께요.
이번엔
을 이항해서
으로 쓰는데,
편의상 첨자를 아래와 같이 k 로 조정하겠습니다.
(이번엔, 2칸 간격 벌어진 텔레스코핑 입니다.)
교대합을 구성하기 위해 양변에
을 곱해서, 새 항등식을 만듭니다.
이제, 이것을 이용해서,
아래와 같이 텔레스코핑 합을 계산합니다.
로 증명이 완성 됩니다.
6. 교대합공식 증명 (2)
이번에도 수학적 귀납법으로 해보겠습니다.
7. 기억하는 법
수학적으로 선택받은 수열 세 가지를 묶어서
아래와 같이 정리해두면
기억하기 좋고, 학생들도 곧잘 써먹습니다.
① 2배 되는 등비수열의 합
가 되는데요, 공비가 2일 때는
직전항까지의 합이 바로 다음 항과 비슷합니다.
(여기서 -1 해주는것은 기억해야 합니다.)
② 피보나치 수의 합
앞에서 유도한 결과에 따르면
입니다. 즉
에서, 직전항까지의 합이
다음다음 항과 비슷합니다.
(여기서도 똑같이 -1 이 붙습니다.)
③ 피보나치 수의 교대합
이 경우 좌변의 이웃한 항끼리 부호가 달라서
상쇄시키는 효과가 있어서
좌변의 절대값이 직전항과 비슷합니다.
(여기서도 똑같이 -1 이 붙습니다.)
그리고, 바로 위의 공식을 보면,
마지막 항으로 더해지는 항이 양수이면
합의 결과값도 양수이고,
마지막 항으로 더해지는 항이 음수이면
합의 결과값도 음수라는 것을
알 수 있습니다.
즉,
교대합의 합이 마지막 더해진 항의
직전항 수준이기 때문에, 마지막항이
전체 합의 결과값의 부호를 결정하게 되죠.
예를 들어,
-1+1-2+3-5+8-13+21 = 13-1
-1+1-2+3-5+8-13 = -8-1
입니다.
이 의미를 아래와 같은 수학적 느낌으로
생각해두면 됩니다.
(1) 공비가 2인 등비수열의 합은 직전항까지 잔챙이들을 다 합쳐도 바로 다음항 보다 1작다.
(2) 공비가 커질수록 잔챙이들의 합은 더 약해진다. 예를들어, 공비가3 이면 직전항까지의 합은 다음항의 절반보다 작다.
(3) 피보나치 수는 공비가 대략 1.6 이므로 잔챙이들의 합이 다음항 보다는 쎄고, 그 다음항과 비슷하다.
(4) 피보나치 수의 교대합은 이웃한 항이 서로 상쇄시키므로 잔챙이들 합이 더 약해지는데, 그 절댓값의 크기가 끝항의 직전항 정도가 된다.
저희 학원 (센텀 알티수학) 은
부산 해운대 센텀에 있답니다.
