센텀고 1학년 수학 기출, 세다 보면 빡치는 색칠 카운팅 문제 잘 푸는 법, 2024년 2학기 수학 기말 17번

글·그림 알티수학 쌤 · 2025-12-11 · 고1 수학

2024년 센텀고 시험에서 변별력 문제로 나왔던

경우의 수 문제를 시스템적으로 푸는 법을

두 가지 방법으로 알려드리겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

센텀고 1학년 수학 기출, 세다 보면 빡치는 색칠 카운팅 문제 잘 푸는 법, 2024년 2학기 수학 기말 17번 — 그림 1

센텀고 1학년 수학 기출, 세다 보면 빡치는 색칠 카운팅 문제 잘 푸는 법, 2024년 2학기 수학 기말 17번 — 그림 2

2024년 센텀고 1학년 2학기 기말고사 17번 입니다.

작년에 저희 학생들 중에

이 문제를 맞춘 학생이 몇 명 있었는데,

케이스 분류를 각자 느낌으로 해서 세다보니

정답일지 오답일지 확신하기가

어려웠다고 합니다.

오늘은 제가 이 문제를 깔끔하게

처리해드리겠습니다.

1. 빈출하는 C_4

이 문제는 각자 다양한 방식으로 분류하더라도

끝까지 잘 풀기만 하면 되는데, 그 과정이 더럽습니다.

이런 문제는 실제 시험에서 풀다가 잘 안되면

일단 패스하고 다음 문제를 푸는 것이 좋습니다.

이 문제는 제가 딱 보니,

A-B-E-F 에서 A 로 다시 연결되는

순환그래프 C_4 가 보이고,

거기에 C 와 D 가 붙어 있는 상태입니다.

이런 C, D 를 종종 leaf 라고 하는데,

'순환그래프에 잎이 두 개 붙어 있다' 라고 말합니다.

이와 관련해서 지난번에 써놓은 글이 있는데

혹시 관심있으시면 보고 오셔도 좋습니다.

참고로,

고교 범위에서는 보통 C_4 가 대부분 나옵니다.

C_3 는 너무 쉽고,

C_5 는 너무 복잡해서 과학고 내신에서 나오거나

또는 담당 수학 선생님이 많이 화나셨을때

출제될 수 있습니다.

그렇지만,

우리는 위의 링크에서 제가 알려드린 공식

센텀고 1학년 수학 기출, 세다 보면 빡치는 색칠 카운팅 문제 잘 푸는 법, 2024년 2학기 수학 기말 17번 — 그림 3

을 살짝 외워두면,

C_m 이 나오더라도 쉽게 처리 가능합니다.

2. C_4 공식으로 풀기

센텀고 문제를 C_4 공식으로 풀어봅시다.

센텀고 1학년 수학 기출, 세다 보면 빡치는 색칠 카운팅 문제 잘 푸는 법, 2024년 2학기 수학 기말 17번 — 그림 4

먼저 순환그래프 ABEF 를 n가지 색으로

칠하는 방법의 수는

(n-1)^4+(n-1)

이고,

여기다가

C 는 B 와 색이 다르기만 하면 되므로,

C 를 칠하는 방법은 (n-1)가지,

마찬가지로,

D 를 칠하는 방법도 (n-1)가지입니다.

따라서, n 가지 색으로

전체 육각형을 색칠하는 방법을 f(n) 이라 하면

f(n)=(n-1)^2\left\{{(n-1)^4-(n-1)}\right\}

\quad \ \ \ =n(n-1)^3(n^2-3n+3)

이 됩니다.

그런데, 4색을 모두 사용한다고 했으므로,

3색, 2색만 사용한 경우는 빼줘야 됩니다.

이 때, 포함-배제의 원리를 써야 합니다.

따라서,

f(4)-_4C_3\cdot f(3)+_4C_2\cdot f(2)

가 답이 되는데, 계산하면

756-(4\cdot 72)+(6\cdot 2)=\textcolor{#ff0010}{480}

이 답이 됩니다.

(설명하느라 길어졌지만

2분이면 풀 수 있습니다.)

3. 케이스 나눠서 풀기

서술형을 대비해서 제출가능한 풀이도 해볼까요

C_4 는 아래와 같은 절차로 기계적으로

4개의 케이스를 나눠서 풀면 언제나 잘 됩니다.

센텀고 1학년 수학 기출, 세다 보면 빡치는 색칠 카운팅 문제 잘 푸는 법, 2024년 2학기 수학 기말 17번 — 그림 5

즉,

A=E, B=F 의 여부에 따라 4가지로 나눕니다.

(1) A=E, B=F 인 경우

① C_4 : 2색으로 교대로 칠함 → 4×3×1×1=12가지

② C, D : 남은 두 색을 나눠가짐 → 2가지

따라서, 12×2=24가지

(2) A≠E, B=F 인 경우

① C_4 : 3색으로 칠함 → 4×3×2×1=24가지

② C, D : 일단 인접색은 피해야 하므로 → 3×3=9가지

(제외 해야 할) 4번째 색을 안쓰는 경우는

기존 3색 중에서만 선택 → 2×2=4가지

따라서, 유효한 경우는 9-4=5가지

그러므로, 24×5=120가지

(3) A=E, B≠F 인 경우

앞의 (2)와 구조가 같으므로 공짜

즉, 120가지

(4) A≠E, B≠F 인 경우

① C_4 : 4색으로 칠함 → 4!=24가지

② C, D : 인접색만 피하면 되므로 → 3×3=9가지

따라서, 24×9=216가지

그러므로 4가지 경우를 다 합하면

24+120+120+216=480가지

가 답이 됩니다.

4. 결론

웬만하면 C_4 만 시험에 나옵니다.

제 수업에서는 특히 변별력 문제를

빠르고 확실하게 풀 수 있는 연습을 많이 한답니다.

모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은

아래 사이트에 모아놨습니다.

저희 학원 (센텀 알티수학) 은

부산 해운대 센텀에 있습니다.

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