알티수학 쌤 수학 노트 센텀 알티수학 학원 · 부산 센텀 · 해운대

연속 조립제법(연조립제법) 대신 더 빠르게 계산하는 방법, 다항식을 (x-a)의 거듭제곱으로 변환하기

글·그림 알티수학 쌤 · · 고1 수학

고1 초반부 수학에 나오는 조립제법 연속 문제, 시간 오래 걸리고 실수도 잦습니다. 더 빠르고 안정적인 방법 두 가지를 예제와 함께 알려드리겠습니다~

x 의 다항식

f(x)=x3−4x2+2x+6f(x)=x^3-4x^2+2x+6

를 (x-2) 에 대한 다항식으로 바꾸는 문제를 생각해 보겠습니다. 즉,

f(x)=a(x−2)3+b(x−2)2+c(x−2)+df(x)=a(x-2)^3+b(x-2)^2+c(x-2)+d

로 다시 쓰는 거죠. 여기서 a, b, c, d 를 구하는 문제입니다.

1. 연조립제법

고등학교 처음 들어가서 배우는 참고서에서는 f(x) 를 (x-2) 로 나눠서 나머지를 구하고, 몫을 다시 (x-2) 로 나누고, 또 나누고... 이런 식으로 조립제법을 3번 연속 돌리는 방식으로 나와 있습니다.

연속 조립제법(연조립제법) 대신 더 빠르게 계산하는 방법, 다항식을 (x-a)의 거듭제곱으로 변환하기 — 그림 1

모범적인 해법입니다만, 이렇게 해보면 꽤 귀찮습니다. 조립제법 표를 3번 그리는 동안 숫자 하나 잘못 옮기면 전부 틀리기도 하니 시험에서 이걸 3번 돌리고 있으면 시간도 시간이고, 정신적으로 지칩니다.

그리고, 학생들도 싫어합니다.

연속 조립제법(연조립제법) 대신 더 빠르게 계산하는 방법, 다항식을 (x-a)의 거듭제곱으로 변환하기 — 그림 2

그렇지만 가끔 연조립제법 자체가 시험에 빈칸 메꾸기 유형으로도 출제되니 기본적인 사용법은 알아야 합니다. (그래도,,, 요즘은 시험에 거의 안나옵니다.)

아래에 좀 더 쓸만한 방법을 알려드리겠습니다.

2. 방법 #1 — 치환 전개 (공통수학 수준 대용법)

아이디어는 간단합니다. x-2=t 로 두면, x=t+2 이므로

f(x)=f(t+2)=(t+2)3−4(t+2)2+2(t+2)+6f(x)=f(t+2)=(t+2)^3-4(t+2)^2+2(t+2)+6

을 t 에 관해 전개하면 끝입니다. 전개하면,

f(t+2)=t3+2t2−2t+2f(t+2)=t^3+2t^2-2t+2

인데, t=x-2 를 되돌려 넣으면

f(x)=(x−2)3+2(x−2)2−2(x−2)+2\textcolor{#ff0010}{f(x)=(x-2)^3+2(x-2)^2-2(x-2)+2}

로 간단히 처리 됩니다. 즉, a=1, b=2, c=-2, d=2 입니다.

여기서 조금 정돈해 두자면,

a=1 은 최고차 계수 그대로이니 암산이고,

d=f(2)=8-16+4+6=2 이니 이것도 암산입니다.

b 와 c 만 간단한 이항전개 계산으로 구하면 되죠.

연조립제법 3번 돌리는 것보다 훨씬 빠르고 안정적입니다.

3. 방법 #2 — 테일러 전개 (숏컷)

미적분을 선행이 되어 있다면 이 방법이 가장 빠릅니다. 실제로, 요즘 예비고1 중에는 미적분1 선행이 되어 있는 학생이 많으니까요.

다항함수는 무한히 미분 가능한 함수입니다. 게다가, 유한 번 미분하면 0이 되므로 테일러 급수가 유한항으로 딱 끊어지죠. 즉, 다항함수에 테일러 전개를 쓰는데 아무 문제가 없습니다.

테일러 전개 공식은 아래와 같습니다.

f(x)=f(a)+f"(a)(x−a)+f""(a)2!(x−a)2+f"""(a)3!(x−a)3+⋯f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+\frac{f""(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f"""(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots

즉, 각항

(x−a)k 의 계수가 f(k)(a)k!(x-a)^k\ \text{의 계수가}\ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}

로 바로 나옵니다. (이 공식만 조금 기억해두면 어떤 차수든 즉시 적용할 수 있습니다.)

테일러가 교과외이고 처음엔 복잡하고 미워(?) 보이긴 하지만 쓰다보면 고등학교 미적분에서는 도깨비 방망이라 느껴질겁니다. 그리고, 어차피 고3이 되서 수능 공부를 하게되면 시험에서 타임어택 시간을 아끼기 위해 테일러를 여기저기 써먹는 학생이 많으니 이번 기회에 미리 알아둬서 나쁠건 없습니다.

이제, 위의 예제에 써볼까요. f(x)=x³-4x²+2x+6, a=2 입니다.

f(x)=x3−4x2+2x+6f(x)=x^3-4x^2+2x+6
f"(x)=3x2−8x+2f"(x)=3x^2-8x+2
f""(x)=6x−8f""(x)=6x-8
f"""(x)=6f"""(x)=6

x=2 를 대입하면

f(2)=2,f"(2)=−2,f""(2)=4,f"""(2)=6f(2)=2,\quad f"(2)=-2,\quad f""(2)=4,\quad f"""(2)=6

따라서,

d=f(2)=2d=f(2)=2
c=f"(2)=−2c=f"(2)=-2
b=f""(2)2!=42=2b=\frac{f""(2)}{2!}=\frac{4}{2}=2
a=f"""(2)3!=66=1a=\frac{f"""(2)}{3!}=\frac{6}{6}=1

이므로,

f(x)=(x−2)3+2(x−2)2−2(x−2)+2\textcolor{#ff0010}{f(x)=(x-2)^3+2(x-2)^2-2(x-2)+2}

가 됩니다.

즉, 미분만 할 줄 알면 기계적으로 계수가 나옵니다.

특히, a, d 는 암산으로 구하고,,

c 도 암산으로 구하세요. 제가 수업때 c 를 암산하라 하면 고1들은 억지라 생각하기도 합니다만, 고3 들은 모두가 당연히 암산입니다. 실제로, c 를 암산으로 구하는건 수능에서 매우 자주 밥먹듯이 나옵니다.

그리고, 사실 b 도 암산 가능하구요. 변곡점 관련한 파라미터라서 이것도 어차피 수능러가 되면 다 외우게 되어 있습니다.

어차피 2년 뒤에 수능러가 되어 쓰게될 것이라면

고1 부터 배워서 잘 쓰자.

특히, 초5, 6학생들 초등 전문 수학학원에서 선행으로 고1 수학을 배운 학생들을 제가 이어 받아서 가르쳐보면 조립제법 등을 너무 소중하게(?) 여기는 경우가 있는데,

고등학교 수학을 배울때는 불필요한 선입견을 갖지 않도록 고등학교 수학을 처음 배울때는 수능도 가르치는 선생님께 시작하는게 더 좋지 않을까 생각합니다.

4. 요약

조립제법 연속으로 돌리는 문제가 나오면,

① 공통수학 범위로 풀고 싶다면 → 치환 전개 (x=t+a 대입 후 전개)

② 미분을 쓸 줄 안다면 → 테일러 전개 (계수 공식을 외워두면 즉시 적용)

어느 쪽이든 조립제법 3번 돌리는 것보다 빠르고 실수도 적습니다.

연속 조립제법(연조립제법) 대신 더 빠르게 계산하는 방법, 다항식을 (x-a)의 거듭제곱으로 변환하기 — 그림 3

#조립제법 #다항식 #치환전개 #테일러전개 #공통수학 #고1수학 #나머지정리 #1 #2

같은 분류의 글 — 고1 수학