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복소수 제곱근, 양변 제곱하면 가짜 답이 섞인다! 무연근 안 만드는 풀이습관

글·그림 알티수학 쌤 · · 고1 수학

문제를 푸는 과정에 양변을 제곱하는 절차가 포함되면 무연근에 당할 수 있습니다. 오늘은 무연근을 효과적으로 차단하는 풀이습관에 대한 예제를 살펴보겠습니다.

오늘 예비 고1 학생들 수업 중에 나온건데, 학생들이 많이 헷갈려 했던 복소수 문제를 하나 살펴보겠습니다.

(출처를 찾아보니 작년 2025년 서울 동작구 성남고 1학년 1학기 중간고사 23번 문제였습니다.)

복소수 제곱근, 양변 제곱하면 가짜 답이 섞인다! 무연근 안 만드는 풀이습관 — 그림 1

많은 학생들이 아래와 같은 오답을 냈습니다.

±10 i\pm \sqrt{10}\, i

풀이 과정에서 양변을 제곱하는 단계가 들어가는데, 그 순간 논리 연결의 필요충분의 흐름이 깨집니다. 제곱하는 것은 '필요조건 방향' 의 변환이라서, 원래 없던 가짜 답(불순물) 이 섞여 들어올 수 있게 되니 이 부분을 잊지 않고 꼭 확인해야 합니다.

그리고, '모두 구하시오' 라는 지시어도 좀 악랄합니다. 답이 여러 개 있을 것 같은 느낌을 주니까요. 이 부분도 뒤에서 짚겠습니다.

1. 풀이 기본 진행

근과 계수의 관계에 의해

α+β=−6,αβ=4\alpha +\beta =-6,\quad \alpha \beta =4

입니다. 그리고, 판별식도 확인해봅니다.

D=36−16=20>0D=36-16=20>0

판별식이 양수이므로 두 근 모두 실수입니다. 따라서, 두 실근의 합이 음수이고 곱이 양수이므로 α<0, β<0 입니다.

만약 판별식이 음수였다면 두 근이 복소수가 되고, 문제에서 구하려는 값

α+β\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }

은 복소수에 근호를 씌운 것이 되서 이것은 고등학교 교과 범위를 벗어나게 됩니다.

2. 통째로 제곱하기

α<0, β<0 를 확인한 뒤에는

K=α+βK=\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }

로 놓고 양변을 제곱해야 합니다. …()

K2=α+β+2αβK^2=\alpha +\beta +2\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }

인데, α<0, β<0 이므로 음수의 제곱근 성질에 의해

αβ=−αβ\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }=-\sqrt{\alpha \beta }

가 적용됩니다. 따라서,

K2=−6+2(−4)=−6−4=−10K^2=-6+2(-\sqrt{4})=-6-4=-10

이 되고,

K=±10 iK=\pm \sqrt{10}\, i

가 됩니다.

그런데, 답이 정말 두 개일까요?

앞의 () 단계에서 양변을 제곱한 순간, 풀이의 논리적 흐름은 필요조건 방향으로만 진행된 겁니다. 즉, "K 가 원래 식의 값이면 K² = -10 이다" 는 맞지만, 그 역인 "K² = -10 이면 K 가 원래 식의 값이다" 는 보장되지 않습니다.

이때, 제곱하는 과정에서 불순물이 섞여 들어왔을 수 있으므로, 반드시 검증이 필요합니다.

3. 답은 하나입니다

검증해 볼까요?

\sqrt{ }

기호는 주요 제곱근(principal square root)을 뜻합니다. 값이 하나로 확정되는 기호죠.

음수 -a (a>0) 에 대해

−a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\, i

이고, 이것은 허수부가 양수인 순허수입니다.

따라서, √α 도 허수부가 양수이고, √β 도 허수부가 양수이므로

α+β\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }

의 허수부는 반드시 양수입니다.

따라서, 2 에서 계산된 값 중에

−10 i-\sqrt{10}\, i

는 허수부가 음수이므로 처음부터 불가능한 값이었던거죠. 제곱 과정에서 끼어든 불순물이 맞습니다.

참고로,

"z2=−10 을 풀어라""z^2=-10\ \text{을 풀어라}"

와

"−10 을 구해라""\sqrt{-10}\ \text{을 구해라}"

는 서로 다른 문제입니다.

전자는 방정식이라 답이 두 개이고, 후자는 기호의 정의에 따라 답이 하나입니다. 이 구분을 놓치고 습관적으로 ± 를 붙이면 무연근이 생기는겁니다.

이렇게 사후에 검증해서 걸러낼 수는 있지만, 실제 시험에서 사후 검증은 실수하기 쉽습니다. 그보다 이전 단계에서 무연근이 자연스럽게 필터링 되서 제외되는 풀이가 훨씬 안전합니다.

4. 안전한 풀이습관 : i 를 먼저 분리

α<0, β<0 이므로, 양수 a, b 에 대해

α=−a,  β=−b  (a>0, b>0)\alpha =-a,\ \ \beta =-b\ \ (a>0,\ b>0)

로 놓으면

α+β=−a+−b\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }=\sqrt{-a}+\sqrt{-b}
 =a i+b i\qquad \qquad \quad \ =\sqrt{a}\, i+\sqrt{b}\, i
 =(a+b) i\qquad \qquad \quad \ =(\sqrt{a}+\sqrt{b})\, i

가 됩니다. 이제, 괄호 안의 실수 부분만 구하면 됩니다.

P=a+bP=\sqrt{a}+\sqrt{b}

로 두면, a>0, b>0 이므로 계산하기도 전에 P>0 이 자동으로 보장되죠.

양의 실수 P 를 제곱해도 P>0 조건이 살아있으므로 필요충분의 흐름이 유지됩니다.

P2=a+b+2abP^2=a+b+2\sqrt{ab}
=(−α)+(−β)+2(−α)(−β)\quad =(-\alpha )+(-\beta )+2\sqrt{(-\alpha )(-\beta )}
=−(α+β)+2αβ\quad =-(\alpha +\beta )+2\sqrt{\alpha \beta }
=−(−6)+24=6+4=10\quad =-(-6)+2\sqrt{4}=6+4=10

P>0 이므로,

P=−10P=-\sqrt{10}

은 아예 고려할 필요가 없습니다.

P=10P=\sqrt{10}

으로 쉽게 확정입니다.

따라서, 답은

P⋅i=10 iP\cdot i=\textcolor{#ff0010}{\sqrt{10}\, i}

가 됩니다.

5. '모두 구하시오' 에 대하여

이 문제는 '모두 구하시오' 라고 되어 있는데,

복소수 제곱근, 양변 제곱하면 가짜 답이 섞인다! 무연근 안 만드는 풀이습관 — 그림 2

이 문제의 답은

10 i\sqrt{10}\, i

로 하나뿐 입니다. 그렇다면

α+β\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }

의 값이 여러 개가 되는 경우가 있을까요?

고등학교 교과 범위 안에서는 없습니다.

−a=a i   (a>0)\sqrt{-a}=\sqrt{a}\, i\ \ \ (a>0)

로 유일하게 정의되니까요.

훗날, 복소해석학에서 √z 는 다가함수(multi-valued function)입니다. 하나의 z 에 대해 제곱근이 두 개 존재하고, 어느 쪽을 선택할지 정해주는 것을 브랜치(branch)라고 합니다.

고등학교에서 쓰는

−a=a i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\, i

는 브랜치를 하나로 고정해 놓은 것이죠. 이 브랜치를 바꾸면

α+β\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }

의 값이 달라질 수 있지만, 그건 교과 밖의 이야기입니다.

즉, 고교 과정의 복소수 단원에서 √ 기호가 들어간 값이 두 개 이상 나오는 문제는 출제되지 않으니 안심하셔도 됩니다.

따라서, 문제에 적혀 있는 '모두 구하시오' 는 낚시(?)입니다.

즉, 문제를 보자마자 답이 하나가 아니면 교과를 벗어나니 '낚시에 걸려들지 말아야지' 라고 생각하는게 맞습니다.

복소수 제곱근, 양변 제곱하면 가짜 답이 섞인다! 무연근 안 만드는 풀이습관 — 그림 3

6. 결론

① 판별식으로 두 근이 실수인지 먼저 확인한다.

② 음수의 제곱근을 만나면, i 를 먼저 분리해서 양의 실수 범위로 환원한다.

③ 양의 실수를 제곱하면, 부호가 확정되어 있으므로 무연근이 원천 차단된다.

④ 만약 제곱을 피할 수 없다면, 그 순간 필요충분의 흐름이 깨졌음을 인식하고, 불순물이 섞이지 않았는지 반드시 사후 검증한다.

⑤ 고교 과정 복소수 단원에서 √ 기호가 포함된 값이 두 개 이상 나오는 문제는 없으므로, 답이 두 개 나왔다면 무연근을 의심한다.

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