더 좋은 필요조건의 효능, 학산여고 1학년 수학 기출, 2025년 1학기 중간고사 24번 (feat. 공통수학1, 이차방정식, 정수론)
2025년 학산여고 1-1 중간고사에서 출제된
최대배점 문제를 세 가지로 풀어보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
중간고사 문제 셋트의 마지막 문제로
배점이 7점인 문제입니다.
기본적으로 문제에서 p, q 가 100 이하의
서로 다른 자연수라고 했으니
(p, q) 의 쌍은 100×99=9900 가지 경우가 가능하고
이 경우들을 다 체크하는것은 말이 안되죠.
따라서,
케이스를 줄일 수 있는 좋은 필요조건을
생각해 내는것이 중요합니다.
1. 최소한의 필수 지식
이 문제를 풀려면 최소한
서로 다른 약수를 홀수개 가지려면
제곱수이어야 한다.
라는 사실은 알아야 합니다.
그러면, α, β 는
중에 있고,
이 필요조건을 적용하자마자
조사해야 할 (α, β) 의 케이스는
10×9=90가지로 줄어듭니다.
이어서, p=α+β, q=αβ 이므로,
약간의 노가다를 하다보면
답을 구해낼 수 있습니다.
참고로, 문제에서
p+q 의 최댓값을 구하라고 했으므로
q=100 부터 역순으로 체크하는것이
요령이 됩니다.
(p 는 합이고, q 는 곱이니
p 보다 q 가 빨리 커지겠죠.)
2. 좀 더 타이트하게
정수론 경험이 좀 있다면
약수가 3개라는 사실을 놓칠 수 없죠.
약수가 3개인 자연수는
단일 소수의 제곱입니다.
그러면, α, β 는 100 이하이므로,
그러면 아래와 같이 6가지 케이스만
확인해보면 됩니다.
필요조건을 조금 강화시킴에 따라
조사해야 할 케이스 갯수가
9900 → 90 → 6가지로 줄었습니다.
이제, 6번 노가다를 뛰어봅니다.
노가다 6번이면 기쁜 마음으로 열심히 계산해야죠.
따라서, 답은 Case 5 의 129 가 됩니다.
3. 더 타이트하게
평소에 공부를 열심히 해두었다면
더 샤프(sharp)한 필요조건으로 풀 수 있습니다.
4. 효능
수학 문제를 풀 때
필요조건의 강약을 조절하는 능력은
빠르고 정확하게 답을 맞추는데 큰 도움이 됩니다.
학생들에게 필요조건의 사용법을 이야기 해주다보면
종종 생각 못한 놀라운 필요조건을
찾아내는 학생도 꽤 있습니다.
블로그에서
지난번에도 필요조건 이야기를 했었네요.
백 문제를 다 푸는것도 중요하지만
한 문제를 "잘" 이해하면 수백 문제를 풀 수 있습니다.
모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은
아래 사이트에 모아놨습니다.
센텀 알티수학 은
해운대에 있는 수학 학원입니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.