이차방정식 근의 분리, 해강고 1학년 1학기 2024 중간고사 수학 기출 21번 초간단 풀이
예비고1 학생의 질문을 받았는데
이 글에서 한 번 정리해 보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
2024년 해강고 1-1 중간고사 21번으로
배점이 무려 12점인 서술형 문제로 출제된
문제였습니다.
그리고,
정석 실력 공통수학1의 연습문제 10-20번 입니다.
1. 표준적인 풀이 진행
먼저, 두 개의 이차함수 f(x), g(x) 를
아래와 같이 설정합니다.
f(x) 는 (0, -1) 을 지나므로
서로 다른 두 실근을 가짐을 확인할 수 있고,
g(x) 도 마찬가지로 (0, -a) 를 지나므로
서로 다른 두 실근을 가집니다. (∵ a>0)
그리고나서,
f(x)=0 의 두 실근을 α, β (α<β) 라 두면,
을 증명하면 됩니다.
그러면, g(x)=0 의 두 근 사이에,
α 또는 β 중에 하나만 존재하게 되죠.
이제, 이 부등식을 풀면 됩니다.
하므로,
g(x) 에 대입해서 식을 정리하면,
이고,
를 써서 곱을 계산합니다.
즉,
인데,
문제의 조건에서 a>0 이므로
는 성립하고, 증명이 완료됩니다.
2. 초간단 풀이
제가 알려드리는 초간단 풀이는
아래와 같습니다.
두 이차함수 f(x), g(x) 는
최고차항 계수가 1 로 같으므로,
하나를 평행이동하면 다른 하나와 겹칠 수 있죠.
따라서, 아래로 볼록한 두 포물선은
반드시 교점 하나를 가집니다.
그런데,
교점의 x 좌표가 일차방정식이라 쉽게 구해집니다.
y 좌표를 구해보면,
이 y 좌표가 음수인것은 쉽게 알 수 있고,
즉, 두 포물선의 교점이 x축 아래에 있죠.
두 포물선이 x축 아래에서 크로스(cross) 하기때문에
두 포물선의 x축과의 교점은
서로 하나씩 번갈아 생기게 됩니다.
(서술은 조리있게 그림과 함께
설명하는 것이 좋겠네요)
참고로, 교점이 x 축 아래에 있으면
서로 다른 두 실근을 가지는것은
자연스럽게 보장받을 수 있습니다.
참고로 정석의 해설은
아래처럼 되어 있습니다.
모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은
아래 사이트에 모아놨습니다.
저희 학원 (센텀 알티수학) 은
부산 해운대 센텀에 있습니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.