해설지 오류 분석, 기본 정석 공통수학2 연습문제 12-17번 문제 (feat. 정삼각형의 무게중심)
여기서는, 기본정석 공통수학2 유리함수
연습문제 하나를 살펴보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
해설지는 아래와 같습니다.
위의 해설에 그려져 있는 삼각형은
문제의 뜻을 만족하기는 합니다만,
이 삼각형이 정삼각형 인지는 확인하고 있지 않죠.
만약, 저렇게 계산한 삼각형이
정삼각형이 안된다면 답이 아닌거라서요.
세 꼭짓점을 마저 계산해보면,
가 되고,
세 변의 길이를 계산해보면,
에서,
이고,
입니다.
그리고,
인데, 이것은 위의 AB 계산과 동일합니다.
따라서, 다행스럽게도 정삼각형이 됩니다.
해설지 풀이 진행처럼
선대칭을 이용해서 A 점을 먼저 찾는것은
AB=AC 는 보장이 되겠지만
BC 의 길이는 (위에서 보다시피) 좌표의
x, y 성분들 숫자도 더럽게 나오기 때문에
계산을 하면서도 '이게 맞나?' 하는
의구심이 들어서 실전에서는 멘붕에 빠지기 쉽습니다.
AB=BC=CA 확인 없이는
풀이가 거의 찍어 맞춘 수준이라
만약 서술형 문제라면 부분점수도 받기 어렵겠습니다.
1. 풀이 수정
실전에서 감당 가능한 올바른 절차대로 풀이를 써보면
아래 진행처럼 해야 합니다.
계산의 편의를 위해
도형의 성질을 좀 쓰는 것이 좋겠습니다.
정삼각형의 무게 중심은 외심과 일치하므로,
무게중심 (0,3) 을 중심으로 하고
반지름이 R 인 원을 생각합니다.
반지름 R 을 작은값에서부터 조금씩 키우다 보면
아래 그림과 같이 유리함수에 접하는 순간이 생깁니다.
y=x+3 이 선대칭의 대칭축 역할을 하기 때문에
AB=AC 는 이미 보장이 되는데
만약 여기서 원이 더 커지면 교점이 4개가 되고,
그 네 점 중에 세 점을 선택하면 선대칭이 깨지므로
더 이상 정삼각형이 되지 않게 됩니다.
따라서, 답이 될 가능성이 있는 경우는 A 점이
위의 그림과 같이 접점이 되는 상황뿐이죠.
A 의 좌표는 유리함수와 y=x+3 을 연립하면
(-2, 1) 인 것을 쉽게 계산이 되고,
이어서 AG=R 의 길이도 쉽게 계산이 됩니다.
일반적으로 정삼각형의 외접원의 반지름을 알 때,
정삼각형의 넓이는 쉽게 계산가능하고, (중3 수학)
에 대입해서 계산하면,
이 답으로 나옵니다.
이제, 이 삼각형이 정삼각형임을 보이겠습니다.
이를 위해서는 B, C 의 좌표를 구할 수 밖에 없죠.
유리함수와 원의 방정식을 연립합니다.
즉,
에
유리함수
를 대입합니다. 그러면,
이고, 정리하면,
이 됩니다. 여기다가
앞에서 구해놓은 접점 A(-2, 1) 을 대입해도 되지만,
아래와 같이,
근과 계수의 관계를 쓰는 방법도 있습니다.
인데, 무게중심의 x 좌표가 0 이므로,
에서,
이므로,
로 구할 수 있습니다. 이어서,
A (-2, 1) 을 구하고, AG=r 을 구하면,
이므로,
이죠.
x=-2 가 한 근인 것을 알고 있고,
또, x=-2 가 중복근인 것도 예상하고 있기 때문에
4차 방정식
에서, 인수분해하면,
이고, 한 번 더 해보면
가 되서,
가 됩니다.
이제, B, C 두 점을 구하면 계산이 더러우므로,
근과 계수의 관계를 씁니다.
라고 하면,
입니다.
이고,
B, C 는 기울기가 -1 인 직선 위의 두 점이므로,
이고, 따라서,
가 됩니다.
일반적으로 정삼각형에서 외접원의 반지름이 R 이면
한 변의 길이 a 는
인 것은 중3 기하 내용입니다.
따라서, 위에서
이었으므로
을 잘 만족합니다.
즉, 정삼각형임이 확인되었습니다.
2. 디테일에 관해
실전에서는 시간을 아끼기 위해
적당히 찍어서 맞춰도 충분합니다만
공부를 하는 단계에서는
논리의 연결에 빈틈이 없도록 연습해 두어야 합니다.
저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있는 수학 학원 입니다.