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부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

오늘은 부분적분으로 부정적분을 할 때

적분상수가 처리되는 과정을 살펴보겠습니다.

부분적분의 부정적분 공식은

아래와 같습니다.

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 1

좌변에서 우변으로 진행할 때

g' 이 g 로 두 번 바꿔썼는데,

이 때 g 에서 생기는

적분상수는 어떻게 되는걸까요?

1. 곱의 미분으로부터...

아래와 같이 곱의 미분에서 시작합시다.

(편의상 f(x) 의 (x) 는 생략하겠습니다.)

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 2

양변을 x 에 대해 부정적분 하면,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 3

이고,

좌변을 처리하면,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 4

가 됩니다.

이제, 이것을 이항해서 고쳐쓰면

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 5

가 되어서,

우리가 알던 부분적분 공식이

유도됩니다.

사실은 여기서, 우변의 부정적분을

계산할 때도 적분상수가 하나 더 나오겠죠.

즉, 원시함수를 H(x) 라 하면,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 6

가 되고,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 7

가 되겠죠.

C_1 - C_2 도 어차피 상수이므로,

새로운 적분상수 C 로 묶어서 표현하면,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 8

이렇게 쓰는것이 문제가 없습니다.

즉, 관례적으로 적분상수는

부분적분 계산이 끝나고 마지막에 한 번만

붙여주면 되는겁니다.

2. 매번 써도 상관없음

그러면,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 9

에서 좌변에서 우변으로 넘어갈 때,

g' 이 g 로 바뀌는 부분에서

적분상수가 있다고 생각하면 어떻게 될까요?

결론은 '넣어도 상관없다' 입니다.

위의 식 우변에서

g 대신 g + C_k 를 써보겠습니다. 즉,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 10

는 g' 의 일반적인 부정적분 입니다.

그러면 우변은 아래와 같이 써지죠.

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 11

전개하면,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 12

대괄호 안의 두 번째 적분은 계산이 가능하므로,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 13

이고,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 14

에서

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 15

즉,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 16

가 되죠. 여기서,

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 17

는 최종 적분상수로 단순히 C 라 두면 됩니다.

요컨데,

g' 의 부정적분으로 g 대신

g + C_k 를 선택하더라도

계산과정에서 소거되어 최종 적분상수에

흡수되어 버립니다.

따라서,

굳이 복잡한 계산을 끌고갈 필요없이

적분상수는 마지막에 한 번만 넣어주면 됩니다.

저희 학원 (센텀 알티수학) 은

부산 해운대 센텀에 있는 수학 학원 입니다.

부분적분 할 때 적분상수 를 마지막에 한 번만 붙이는 이유 — 그림 18

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