다항식 항등식에 복소수를 넣어도 되는 이유 (feat. 복소해석 일치정리(Identity Theorem), 항등정리)
다항식의 항등식은
모든 복소수에 대해 등식이 성립합니다.
여기서는 그에 대한 이야기를 해보겠습니다.
공통수학1에서 항등식 부분의
설명을 보면 아래와 같습니다.
비상 교과서
미래앤 교과서
천재 교과서
교과서들이 모두 한결같이
'어떠한 값을 대입하여도' 라고만 되어있고,
그 '어떠한 값'이 어떤 값이어야 하는지
명시적으로 알려주지 않습니다.
정수인지? 실수인지? 복소수도 될까요?
교과서들은 이후에
항등식의 성질을 이용한 문제들이 쭉 나오고
각 문항들은 필요에 따라
적당히 문제풀이에 도움되는 실수(real number)를
대입해서 풀고 있습니다.
요컨데, 결론을 말씀드리자면
아래와 같습니다.
다항식 항등식은
모든 복소수에 대해 성립합니다
따라서, 다항식 항등식 문제를 풀 때,
복소수를 대입해도 되는거죠.
1. 예제(1)
2020년 고1 6월 문제를 보면,
와 같이 풀 수 있습니다.
참고로, 복소수를 사용하지 않고 풀면
아래와 같습니다.
2. 예제(2)
하나 더 볼까요?
으로 풀 수 있습니다.
3. 왜 '복소수'라고 시원하게 말해주지 않을까
제 생각엔 교과서 목차 때문인것 같습니다.
목차상으로 다항식이 나오고,
또, 다항식의 나눗셈이 나오고
한참 뒤에 복소수가 나오기 때문에
어쩔수 없죠.
그렇다고 복소수를 앞에서 배우려면
방정식을 배워야 하는데,
다항식 배우기 전에
다항방정식을 배워야 하니 곤란하겠네요.
4. 참고 배경 설명
고등학교 교과는 아니지만 훗날
복소해석학에서 '일치정리(Identity Theorem)' 가
있습니다.
해석함수 f 가 영역 D⊂ℂ에서
축적점을 가지는 무한한 영점 집합을 가지면
f≡0
일단 f 가 다항식이면 해석함수이고,
모든 실수는 축적점이기 때문에
실수의 열린집합에서 f=0이 되면
모든 복소수에 대해서도 f=0 이 됩니다.
아무튼
"증명가능하다" 입니다.
5. 요약
다항식 항등식이 실수에 대한 항등식이면
복소수 전체에 대해서도 항등식입니다.
또, 이것은
n 변수 다항식 항등식일때도
여전히 성립합니다.
(수학적 귀납법으로 확장 가능)
센텀 알티수학 은
해운대에 있는 학원입니다.
