2026학년도 수능 수학 21번 알티 수학쌤 해설 (feat. 함수 추론 NGD)
오늘은 2026학년도 수능 21번 문제를
풀어보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
1. 필요조건 (1)
가장 먼저 할 일은 쓸만한 필요조건들을
빠짐없이 잘 모으는것입니다.
① g(x) 가 연속
t 에 의해 구간별로 정의된 g(x) 가
연속이라는 조건이 보이네요.
즉, x = t 에서 g(x) 는 연속이어야 하므로
에서,
이므로,
에서,
입니다.
② (가) 조건
모든 실수 a 에 대해
가 존재해야 하므로,
a = 0, 2 일 때도 존재해야 하죠.
이 때, 분모가 0으로 수렴하게 되므로
분자도 0으로 수렴해야 합니다.
즉,
이어야 하므로,
t 와 상관없이 f(x) = 0 은 0, 2 를
해로 가집니다.
일반적으로 삼차방정식은
실근이 1개 또는 3개 이므로,
f(x) = 0 의 세 실근을 0, 2, r 이라 두고
라 하겠습니다.
이 때, 앞의 ① 에 의해
t 는 0, 또는 2 또는 r 입니다.
2. g(x) 개형 NGD
f(x) = 0 이 세 실근을 가지므로,
y=f(x) 는 아래와 같은 개형이죠.
여기서, α, β, γ 에 0, 2, r 을 할당하는
방법이 3가지(5가지)가 있습니다.
즉,
0, 2, r
0, r, 2
r, 0, 2
가 있고, (3가지)
여기다 혹시 모르니 r=0 이나, r=2 를
고려해주면 5가지가 됩니다.
그리고, t=α, β, γ 가 가능하므로,
y=g(x) 의 그래프는 t 값에 따라
아래와 같이 3가지가 됩니다.
t=α 인 경우
t=β 인 경우
t=γ 인 경우
따라서, α, β, γ 의 배치와
t 값에 따라 총 9가지
(중근을 고려하면 15가지)
그래프를 그려놓고
(나) 조건을 만족시키는 것을 찾으면 됩니다.
NGD 가 많긴 하지만
생각보다 빠르게 처리 됩니다.
3. (나) 조건 처리
(나) 조건에서
를 빠르게 처리하려면,
분모에 해당하는 y=x(x-2) 그래프를
머릿속에 기억하고
분자에 해당하는 g(x) 의 그래프를 이용해서
부호를 판정하면 됩니다.
g(x) 는 앞의 2 에서의 9개를 모두 넣어가면서
가 음수인지 부호를 판별하면 됩니다.
예를 들어,
g(x) 가 아래 그래프와 같이 된다면
m→1+ 이면 분모도 음수, 분자도 음수라서 전체는 양수,
m→2+ 이면 분모는 양수, 분자는 음수라서 전체는 음수,
m→3+ 이면, 분모는 양수, 분자는 음수라서 전체는 음수,
m→4+ 이면, 분모는 양수, 분자도 양수라서 전체는 양수,
m>4 이면 분모는 양수, 분자도 양수라서 전체는 양수
입니다.
따라서, 이 g(x) 의 경우에
m=2, 3 의 단 두 개가 조건을 만족하므로
문제에서 원하는 "그 경우"가 됩니다.
4. 필요조건 (2)
g(x) 형태의 NGD 횟수를 줄이기 위해서
필요조건을 좀 더 찾는것도 좋은 방법입니다.
① 관찰로부터 f(x)=0 의 세 실근
0, 2, r 에서 2가 최대인 근이면
(나) 조건을 만족하는 자연수 m 이
한 개 이하만 가능합니다!
왜냐하면,
2 이상의 x=m 에 대해서는
y=x(x-2) 도 양수이고,
g(x) 도 양수이기 때문이죠.
따라서, 0<2<r 을 확신할 수 있게 되므로
이것을 발견하면
NDG 가 획기적으로 줄어듭니다.
② 관찰로부터 자연수 m 의 집합에 있는
이 됩니다.
5. 줄어든 NGD
앞의 4 에서의 필요조건 ①, ② 를 추가하면
g(x) 로 가능한 그래프는
아래 두 개만 체크하면 됩니다.
t=r 인 경우
t=2 인 경우
그런데,
첫 번째 그래프는 조건 (나)를 만족시키는
m 값이 없다는 것을 쉽게 확인할 수 있고,
두 번째 그래프가 아래 그림과 같이
3<r<4
이어야 함을 알 수 있습니다.
왜냐하면,
이 때, 조건 (나)를 만족시키는 m 값이
2, 3 으로 딱 두 개가 가능하기 때문이죠.
6. 최종 계산
이제, 연립방정식
을 풉니다.
을 풀면, k 가 음수가 나와서 안되구요.
를 풀면,
이 나오고, 그래프와 잘 맞습니다.
따라서,
이고,
입니다.
이므로,
가 답이 됩니다.
7. 실전에서는
9회 NGD 로 푸는것도 나쁘지 않다고
생각이 됩니다.
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저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.
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