수능 수학 14번 알티 수학쌤 2가지 해설, 중학교 기하가 중요한 이유 (feat. 2026학년도, 사인법칙, 내대각)

글·그림 알티수학 쌤 · 2025-11-19 · 고3 수학

오늘은 2026학년도 수능 14번 문제를

비교적 간단하게 풀어보겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

수능 수학 14번 알티 수학쌤 2가지 해설, 중학교 기하가 중요한 이유 (feat. 2026학년도, 사인법칙, 내대각) — 그림 1

1. 분석

먼저, 문제에서 주어진 정보를 모아보면

아래 그림과 같습니다.

수능 수학 14번 알티 수학쌤 2가지 해설, 중학교 기하가 중요한 이유 (feat. 2026학년도, 사인법칙, 내대각) — 그림 2

HG 의 중점이 M 이고,

△CGH 의 외심이 O 입니다.

녹색으로 표시된 각들은 모두 같은 각 θ 입니다.

\sin \theta =\frac{CB}{AC}=\frac{4}{5}

임을 알고 있으므로,

HG=2HM=2HO\sin \theta =\frac{8}{5}HO=\frac{8}{5}R

이죠. 따라서,

△CGH 의 외접원의 반지름

HO=R 만 구하면 끝납니다.

2. HO=R 계산

큰 원의 반지름 R 만 계산하면 되므로

아래 그림과 같이 CG 의 중점 N 을 잡습니다.

수능 수학 14번 알티 수학쌤 2가지 해설, 중학교 기하가 중요한 이유 (feat. 2026학년도, 사인법칙, 내대각) — 그림 3

노란색 표시된 각 φ 들이 같으므로,

(∵ ∠CHG = ∠AEG 내대각)

△OCN 에서

CN=\sqrt{6}=OC\sin \phi =R\sin \phi

이므로,

R=\frac{\sqrt{6}}{\sin \phi }

이죠. 따라서, 이제

sin φ 만 구하면 됩니다.

△CGA 의 내선 GE 에 대해

GE=x 라 하고

코사인 법칙을 쓰면,

\cos \phi =\frac{x^2-2^2-2^2}{2\cdot 2\cdot x}

\quad \quad \ =\frac{x^2-3^2-(2\sqrt{6})^2}{-2\cdot 3\cdot x}\ \left(=-\cos (\pi -\phi )\right)

이고, 이것을 풀면 간단하게

x=√6 이 나옵니다.

이것을 위 식에 다시 대입하면,

\cos \phi =\frac{\sqrt{6}}{4}

이고,

\sin \phi =\sqrt{1-\cos ^2\phi }=\frac{\sqrt{10}}{4}

이 나옵니다.

따라서,

R=\frac{\sqrt{6}}{\sin \phi }=\frac{4\sqrt{15}}{5}

이고,

HG=\frac{8}{5}R=\frac{8}{5}\cdot \frac{4\sqrt{15}}{5}=\frac{32\sqrt{15}}{25}

가 답이 됩니다.

3. 수능적 계산

수능적 계산 절차로는 아마도

아래 순서가 될것 같습니다.

① △ACG 에서 cos∠CAG 를 구한다.

② GE 의 길이를 구한다.

③ △ECG 에서 cos∠ECG 를 구한다.

④ sin∠ECG 를 구한다.

⑤ 사인법칙으로 R 을 구한다.

⑥ 사인법칙으로 HG 를 구한다.

수능 수학 14번 알티 수학쌤 2가지 해설, 중학교 기하가 중요한 이유 (feat. 2026학년도, 사인법칙, 내대각) — 그림 4

이렇게 하면 되는데, 계산이 더럽습니다.

중학교 기하를 잘 해놨다면,

원에 내접하는 사각형 CEGH 에서

내대각으로 ∠CHG=∠GEA 를 바로

알 수 있으니 문제에서 주어진 길이

GC 를 계산없이 활용할 수 있어서

계산량도 훨씬 적고,

논리적으로도 간편해집니다.

4. 참고

위에서 사용된 내용들은

필요하시다면 아래 글을 참고해주세요~

https://blog.naver.com/rtmath-/223892721082

https://blog.naver.com/rtmath-/223891753860

5. 중2 수준으로만 풀어보면

이 문제는 닮음과 피타만 써서

중2 수준으로 풀 수 있습니다.

아래 그림과 같이

G 에서 CH 에 내린 수선의 발을 Q 라 하고,

G 에서 AC 에 내린 수선의 발을 P 라 하면,

△ABC∽△CQG

△HGQ∽△EGP

입니다.

수능 수학 14번 알티 수학쌤 2가지 해설, 중학교 기하가 중요한 이유 (feat. 2026학년도, 사인법칙, 내대각) — 그림 5

△ABC∽△CQG 의 닮음비가

AC:CG= 5:2√6=CB:GQ 이므로,

GQ=\frac{2\sqrt{6}\cdot CB}{5}=\frac{8\sqrt{6}}{5}

입니다. 이어서,

AP=x 라 하고,

두 직각삼각형 △GAP, △GCP 에서

피타고라스 정리를 쓰면,

GA^2-AP^2=GP^2=GC^2-CP^2

즉,

2^2-x^2=GP^2=(2\sqrt{6})^2-(5-x)^2

에서,

x=\frac{1}{2},\quad GP=\frac{\sqrt{15}}{2}

이고, △GEP 에서 피타를 쓰면

GE=√6 입니다.

이제, △HGQ∽△EGP

에서, HG:EG=GQ:GP 이므로,

HG=\frac{EG\cdot GQ}{GP}=\frac{\sqrt{6}\cdot \frac{8\sqrt{6}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}

\quad \ =\frac{32\sqrt{15}}{25}

가 됩니다.

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아래 사이트에 모아놨습니다.

저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.

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