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많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번)

글·그림 알티수학 쌤 · · 중3 수학

이번에 해강중3 학습지에

재미있는 문제가 많네요.

학생들이 많이들 물어보는데

여기서는 그 중에 하나를 풀어보겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 1
많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 2

이 문제는 2023년 시행 고1 3월 모의고사에서

21번으로 출제된 문제입니다.

풀이는 아래와 같습니다.

1. 둘레 구하기

삼각형 넓이와 내접원의 반지름이

주어져 있으므로 △ABC 의 둘레를 구할 수 있죠.

즉,

(△ABC  넓이)=12r(AB+BC+CA)(\triangle ABC\ \ 넓이)=\frac{1}{2}r\left(AB+BC+CA\right)

에서,

AB+BC+CA=102AB+BC+CA=\textcolor{#ff0010}{10\sqrt{2}}

입니다.

2. AI = 3 활용하기

이 문제가 어려운 첫번째 이유가 AI = 3 을

어떻게 써야 하는가입니다.

아래 그림과 같이

내접원과 AB 의 접점을 H 라 할 때,

직각삼각형 △AIH 의 피타에 써먹어 보죠.

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 3

그러면

AH=AI2−r2=32−12=22AH=\sqrt{AI^2-r^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}

입니다.

이제,

AH=AB−BC+CA2=AB+BC+CA2−BCAH=\frac{AB-BC+CA}{2}=\frac{AB+BC+CA}{2}-BC
 =1022−BC=22\quad \ =\frac{10\sqrt{2}}{2}-BC=2\sqrt{2}

이므로,

BC=32BC=3\sqrt{2}

가 됩니다.

3. 닮음비 구하기

평행선 닮음에 의해

△ADE ∽ △ABC 이므로 닮음비 k 는

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 4

이죠.

이 때,

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이고,

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인데,

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 7

하늘색과 초록색 삼각형이 이등변 삼각형인 것은

다들 잘 아시죠.

그래서,

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 8

가 됩니다.

따라서,

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 9

가 됩니다.

즉, 닮음비 k 는

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 10

입니다.

4. DE 계산

△ADE ∽ △ABC 에서

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 11

이고,

BC=32BC=3\sqrt{2}

이므로,

많이 궁금해 하시는 해강중3 학습지 어려운 도형 문제 해설 (feat. 내심, 내접원 넓이, 평행선 닮음, 2023 시행 고1 3월 모의고사 21번) — 그림 12

가 답이 됩니다.

5. 재미있는 문제

풀이 과정에서 어려운건 거의 없으나

복합적 논리의 연결이 필요한 문제입니다.

난이도는 중등 KMO 1차에서

중간쯤 (10번 언저리) 수준으로 보입니다.

일반적인 학생 대상으로는

다소 도전적인 문제 수준으로 보입니다.

하지만

이런 문제를 통해 수학적 사고력을

더 키울 수 있죠.

다만, 학습지 연계해서

기말고사가 출제된다면

(저와 같이 취미가 논증기하인

학생들은 재미있겠지만,)

ㅠ

영혼이 탈탈 털릴지도 모릅니다.

나머지 문제들도 까다로운것들이

꽤 있으니

기말 대비를 미리 좀 열심히

하셔야 되겠습니다.~

모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은

아래 사이트에 모아놨습니다.

저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.

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이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.

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