육각형 세 대각선이 한 점에서 만나는 문제 상세 해설 (feat. 에이급 수학 3-2, 귀류법, 호모세티, 동일법)
오늘은 에이급 수학의
오래된 빌런 문제를 살펴보고,
다른 풀이도 알려드리겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
이 문제입니다.
문제 자체는 매우 엘레강트한 문제입니다.
다만,
난이도가 내신교재 (에이급수학) 에는 맞지 않고,
수록된 해설지 풀이가 너무 이라서
안타깝네요.
일단,
초등학생도 보는 중3 내신 문제집에
이런 난이도의 문제를 넣어서는 안되죠.
해설지 풀이를 조금 살펴보자면,
풀이 셋째줄에, '한 점에서 만나지 않는다고 하면'
이 부분에 귀류법이 들어간것이구요.
이 때 그림상으로 x, y, z 는 0 이 아닌 양수입니다.
...
그리고나서,
맨 아래쪽에 모순이라서
귀류법 가정이 틀리다는 결론이 된거구요.
㉠, ㉡, ㉢ 을 처리해서 모순이 나오는 과정은
안써져 있는데 좀 오류인것 같고,
제대로 정리하자면 아래와 같습니다.
세 부등식
대신에,
아래 세 등식
을 변변 곱하면
이 등식이 성립해야 하는데,
이 등식은 x, y, z 가 양수라서 모순이 됩니다.
이렇게 처리하면 적당히 깔끔합니다.
(이 대목에서 학생들이 질문을 많이 합니다.)
1. 논증기하로 풀기
이제, 논증기하로 풀어보겠습니다.
크모 중등2차 앞쪽 문제 정도로 어울릴것 같네요.
아래 그림의 육각형 ABCDEF 의 넓이를
2S 라 하겠습니다.
문제에서 주어진 조건에 의해
아래 그림에서 빨간색 부분의 넓이는 S 입니다.
또, 아래 그림의 파란색 부분의 넓이도 S 죠.
빨간색 부분과 파란색 부분의 공통부분인
△DEF 를 빼주면 아래 그림과 같이
△CDF 와 △ADF 의 넓이가 같습니다.
즉, AC//DF 이라는 뜻이죠.
마찬가지 방법으로,
CE//FA, EA//DB 가 됩니다.
그러면,
아래 그림과 같이
△AEC 와 △DBF 는
세 쌍의 변이 평행합니다.
두 삼각형이 세 쌍의 변의 평행하면
닮음일 뿐만 아니라 닮음의 위치에 있습니다.
(homothety, 호모세티)
따라서,
대응점 A 와 D, B 와 E, C 와 F 를
연결한 직선은 닮음의 중심을 지납니다.
즉, AD, BE, CF 는 한 점에서 만난다는것이
증명됩니다.
이렇게 하면 깔끔한데,
(크모는 이 정도 적으면 되려나요?)
호모세티에 관한 정리들 증명까지 넣으면
길어지므로,
우회해서 비율계산+동일법 으로
다시 마무리 지어 보겠습니다.
일단,
"세 쌍이 평행한 두 삼각형은 닮음이다." 는
아래 그림과 같이, P 점을 하나 잡고
∠CAE=∠APB=∠BDF
이므로, (AE//BD 의 엇각, AC//DF 의 동위각)
두 삼각형의 세 대응각이 같음을
쉽게 확인할 수 있습니다.
따라서, △AEC ∽ △DBF 이고,
이 닮음비를 m:n 이라 합니다.
아래 그림과 같이 AD 와 BE 의 교점을 H 라 잡으면,
△HBD ∽ △HEA 이므로,
AH : HD = AE : BD = m:n
입니다.
즉,
H 는 AD 를 m:n 으로 내분하는 점이죠. …(가)
아래 그림과 같이 AD 와 CF 의 교점을 H' 이라 잡으면
△H'AC ∽ △H'DF 이므로,
AH' : H'D = AC : DF = m:n
입니다.
즉,
H' 은 AD 를 m:n 으로 내분하는 점이죠. …(나)
이제, (가), (나) 에서 H = H' 이네요.
이로서 증명이 완료됩니다.
저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.