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부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수)

글·그림 알티수학 쌤 · · 중3 수학

오늘은 자잘한 계산이 많은

넓이 계산 문제 하나를 살펴보겠습니다.

1. 문제와 해설지

아래 그림은 한 변의 길이가 1인 정사각형에,

4개의 ¼ 부채꼴을 그린것이다.

가운데 색칠된 부분의 넓이를 구하여라.

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 1

에이급수학 3-2에 한 변의 길이가 30cm로

주어진 문제가 있습니다.

그 해설지 풀이는 아래와 같습니다.

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 2

돌직구 같은 풀이네요.

약간의 끈기가 필요합니다.

2. 조금 더 알기 쉽게

큰 정사각형에서 아래 파란색 부분을

4번 빼면 됩니다.

(계산은 좀 더럽습니다만.)

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 3

파란색 부분은 ¼ 부채꼴에서

아래 빨간색 부분을 빼면 되죠.

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 4

이 빨간색 부분은

중심각이 60°인 부채꼴 두 개에서

정삼각형을 하나 빼주면 됩니다.

빨강=π6⋅2−34\text{빨강}=\frac{\pi }{6}\cdot 2-\frac{\sqrt{3}}{4}

따라서, 파란색 부분은

파랑=π4−빨강\text{파랑}=\frac{\pi }{4}-\text{빨강}
=34−π12\qquad =\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi }{12}

이고, 그러므로 최종으로 구하는

노란색 부분은

노랑=정사각형−4⋅파랑\text{노랑}=\text{정사각형}-4\cdot \text{파랑}
=1−4⋅(34−π12)\qquad =1-4\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi }{12}\right)
=1−3+π3\qquad =1-\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}

이 됩니다.

4. 연립방정식으로 (추천)

앞의 풀이들을 찬찬히 살펴보면

뭔가 더하고 빼고가 반복되고 있습니다.

이런 경우에 쓰라고 배운것이

연립방정식이라는것이 있죠.

이제, 좀 더 시스템적으로 풀어봅시다.

아래 그림과 같이 세 종류 조각의

넓이를 각각 x, y, z 라 하겠습니다.

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 5

여기서 x 만 구하면 됩니다.

전체 정사각형의 넓이에서

x+4y+4z=1⋯ (1)x+4y+4z=1\qquad \cdots \ (1)

이고,

¼ 부채꼴의 넓이에서

x+3y+2z=π4⋯ (2)x+3y+2z=\frac{\pi }{4}\qquad \cdots \ (2)

입니다.

여기까지는 순조롭네요.

그런데, 식이 하나 더 필요한데...

(1), (2) 와 독립인 식이 필요합니다.

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 6

이 빨간색 부분의 넓이를

식으로 세우면 되겠습니다.

앞에서 언급했듯이,

중심각이 60°인 부채꼴 두 개에서

정삼각형을 하나 빼주면 됩니다.

x+2y+z=π3−34⋯ (3)x+2y+z=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\qquad \cdots \ (3)

입니다.

이제, (1), (2), (3) 식을 연립해서

x 를 구하면 됩니다.

연립방정식은 각자 잘 푸시면 됩니다만,

참고로,

(1)−4⋅(2)+4⋅(3)(1)-4\cdot (2)+4\cdot (3)

을 해주면 x 가 바로 나옵니다. 즉,

좌변은

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 7

이고, 우변은

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 8

가 되어서,

부채꼴이 겹쳐진 넓이 계산 문제 (feat. 에이급 수학 3-2, 연립방정식, 여인수) — 그림 9

가 됩니다.

5. 참고

참고로, 위에서 계산한,

1, -4, 4 에 해당하는 연립방정식의 배율은

a * (1번 식) + b * (2번 식) + c * (3번 식)

으로 계산했을 때,

y, z 항의 계수가 0 이 되게 하는

상수 a, b, c 를 찾은겁니다. 즉,

y의 계수: 4a+3b+2c=0

z의 계수: 4a+2b+c=0

에서

두 식을 연립하면,

a : b : c = 1: -4: 4

가 구해진답니다.

이 a, b, c 는

x, y, z 의 여인수 전개라고 하는건데,

사실은 살짝 암산했습니다.

(여인수 전개는 다음 기회에 상세히

알려드리겠습니다~)

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