알티수학 쌤 보조선 #10 - 9월 킬러 오일러 삼각형 정리로 1분컷 (feat. 2025시행 고2 9월 모의고사 수학 기출 21번)

글·그림 알티수학 쌤 · 2025-09-11 · 고2 수학

오일러 삼각형 정리가 모의고사에 나왔네요.

지난주에 봤던 고2 9모 기출 21번을

간단하게 풀어보겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

1. 모범 답안

△BCD 의 내접원의 반지름을 구해야 하므로,

먼저, 세 변 BC, CD, DB 의 길이를 구하고,

이어서, △BCD 의 넓이를 구하면 됩니다. 그러면,

\left|\triangle BCD\right|=\frac{1}{2}r\left(BC+CD+DB\right)

를 써서 r 을 구할 수 있습니다.

킬러문제답게 계산량이 상당합니다.

참고로, EBSi 에 올라온 해설은 아래와 같습니다.

열심히 계산해도 10분은 걸릴것 같네요.

중학교 시절 기하 공부 좀 했다면 모를리 없는

오일러 삼각형 정리 잠깐 복습 해보시죠..

혹시 잊어버렸을 수도 있으니

맨션정리도 한번 보실까요?

이제 1분만에 되는 것을 보여드리겠습니다.

(1)

AC 가 내접원의 넓이를 이등분한다 했으므로

AC 는 ∠BCD 의 이등분선입니다.

즉, △BCD 의 내심 I 를 지나죠.

(2)

아래 그림과 같이 맨션정리가 먹습니다.

즉, AB = AI = AD = 2 입니다.

따라서, AI=2 이므로 IC=√7-2 입니다.

(3)

OI=d 라 하면, I 의 방멱에 의해

(R+d)(R-d)=R^2-d^2=CI\cdot IA

\qquad \qquad \qquad =\left(\sqrt{7}-2\right)\cdot 2

이고,

여기에, 오일러 삼각형 정리

d^2=R^2-2rR

을 대입하면,

2rR=(\sqrt{7}-2)\cdot 2

에서 r 이 쉽게 구해집니다.

R은 문제에서 주어져 있으니까요,

즉,

r=\frac{\sqrt{7}-2}{R}=\textcolor{#ff0010}{\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{21}}{7}}

이 답이 됩니다.

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