번거로운 0 - 0 꼴 극한 계산, 해강고 2학년 2학기 미적분 2025 중간고사 기출 서답형 3번 (feat. 테일러, 로피탈, 덧셈정리, 2배각공식, 3배각공식 )
최근의 해강고 2-2 미적분 중간고사에서 출제된
0 - 0 꼴 (영 빼기 영꼴) 의 극한 계산 문제를
살펴보겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
서답형 마지막 문제로 배점 12점 입니다.
1. 부정형 체크
x → 0 일 때, 분자가 0 으로 가므로
분모가 0 으로 가야 우변이 1이 될 가능성이 있죠.
그래서 일단, b>0 입니다.
분자만 보면 0 + 0 - 0 꼴인데,
보통 0 - 0 꼴 이라 합니다.
이 꼴은
'0으로 가까이 가는 두 개의 값의 차' 이기 때문에
그냥 단순히 0 으로 가까이 가는것 보다
0 으로 가는 속도가 더 빠릅니다.
쉽게 말하면 고차의 0 이라는 뜻인데,
차수가 높은 0 은 계산량이 많아서
대체로 번거롭습니다.
2. 풀이(1) : 테일러 전개
0 - 0 꼴은 경험적으로 테일러 전개가
가장 간명합니다.
물론, 이 시험에서 서답형으로 출제되서
이 풀이는 못쓰지만,
0 - 0 꼴에서 1순위는 테일러죠.
진행은 아래와 같습니다.
이므로, 기계적으로 계산하면,
입니다. 그래서 분자는
에서
가 됩니다.
이제, 문제에서 주어진 극한은
입니다. 그러면,
a = 3, b = 3 임을 바로 알 수 있습니다.
서답형만 아니라면 이렇게 가는게 맞긴한데요..
3. 풀이(2) : 로피탈 정리
0 - 0 꼴은 로피탈 정리가 좀 불편합니다.
로피탈을 두번, 세번 써야 하는 경우가 많거든요.
에서 b>0 이어야 하고,
그러면 분자, 분모가 0 으로 수렴하므로
로피탈 쓰면,
이 됩니다.
분자가 0 으로 수렴하므로, 극한값이 1이 되려면
b>1 이어야 합니다.
그러면 분자, 분모가 0 으로 수렴하므로
로피탈 다시 한번 쓰면,
분자가 또 0으로 가네요,
그래서 b>2 여야하고,
그러면 분자, 분모가 0 으로 수렴하므로
로피탈 또 다시 한번 쓰면,
에서 이제서야 분자가 18 로 가까이 가네요.
이제, 일단 분모가 상수가 되려면
x 의 지수가 0 이 될 수 밖에 없으므로, b=3 이네요.
그러면 분모가 18 이 되려면 a=3 이 됩니다.
로피탈을 3번 써야 하니 번거롭죠.
0 - 0 꼴이 너무 빠르게 0 으로 수렴해서 그렇습니다.
그리고, 이 풀이도 서답형에 못씁니다.
4. 풀이(3) : 합을 곱으로 고치는 공식
이런 문제에서는 합을 곱으로 고치는 공식이 짱인데,
안타깝게도
직전 교과서 개정에서 교과과정에서 빠졌습니다.
그래서, 서답형에 못쓰겠지만,,,
풀이는 아래와 같습니다.
분자를 변형하면,
에서 괄호부분은
바로 위의 sin A - sin B 공식을 써서
가 됩니다.
로 써서 공통인수 꺼내고 정리하면
분자는
가 되고, 괄호부분을 곱으로 다시 한번
바꿔줍니다.
이 공식을 쓰면 되거든요.
그러면, 분자는 최종으로
가 됩니다.
이제, 극한을 계산해보면,
인데,
아래와 같이 변형합니다.
그러면,
가 되죠.
따라서, 이 값이 1 이 되려면
a = b = 3 이어야 됩니다.
이 세 가지 풀이가 통상 풀이 방법 입니다만,
셋 다 서답형에 쓸 수가 없다는것이 문제입니다.
그러면 이 문제를 학교시험에 냈다는건
3배각 공식으로
노가다를 뛰라는 뜻이네요.
3배각 공식은 예전 교과에서는 필수 암기지만
현재교과에서는 제외되어 있으므로
유도해서 써야겠죠,,
5. 풀이(4) : 제출 가능한 풀이
그럼 노가다를 뛰어 보겠습니다.
로 풀고,
를 대입해서 정리합니다.
그리고, sin x 로 싹 고쳐주면 됩니다.
에서 정리하면,
입니다.
이 3배각 공식은 지금 교과에서도
외워 두면 좋긴합니다.
이제,
의 분자를 정리하면,
에서,
이고, 2 sin x 로 묶으면
입니다.
그러면, 극한식은
인데,
을 알고 있으니
b = 3 이어야 합니다.
그러면,
로 고쳐쓰고,
로 한 번 더 고쳐쓰면
에서 이 값이 1 이어야 하므로,
a = 3 입니다.
이 문제를 제한 시간내에 제출하려면
열심히 적어야 되겠네요.
학교 내신 문제로는 쪼금 가혹한것 같기도 합니다.
왜냐하면 이 문제를 연습시켜 줄만한
고2 수준의 내신 문제집(교재)이
잘 안떠오르네요.
모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은
아래 사이트에 모아놨습니다.
저희 학원 (센텀 알티수학) 은 부산 해운대 센텀에 있습니다.
이 글에서 다룬 문제의 저작권은 출제 기관·출제자에게 있으며, 학습과 비평을 목적으로 낱문항만 인용했습니다. 해설과 그림은 필자가 직접 작성한 것입니다. 삭제를 원하시면 rtshhw@naver.com 로 연락 주십시오.