알티수학 쌤 보조선 #11 - 원을 수직인 두 현으로 분할한 넓이 계산 (feat. 중학 고쟁이 3하)
오늘은 내신 교재(고쟁이)에 있는
재미있는 넓이 계산 한 문제를
살펴보겠습니다.
1. 문제 소개
중학 고쟁이 3하에 있는
재미있는 문제입니다.
해설은 아래와 같이 되어 있습니다.
좋은 해설이지만...ㅠ
이대로 따라 공부하기에는
무리가 있는것 같네요.
2. 알기 쉽게 해결하는 법
아래와 같이 문제를 정의해놓고
생각해보겠습니다.
위의 그림과 같이
원을 수직인 두 현으로 분할했을 때,
S+T 의 넓이를 계산하는 문제입니다.
아래 그림과 같이 원의 중심을 O 라 하고,
직교하는 두 현을 모두 O 에 점대칭합니다.
그리고,
S=①+② 라 하고,
T=③+④ 라 합니다.
나머지 영역에도 아래와 같이
넘버링을 합니다.
여기서, 대칭성에 의해
①=①'
②=②'
③=③'
④=④'
이 성립하므로,
①+②+③+④ = ①'+②'+③'+④'
가 됩니다.
즉, 원의 넓이는
S+T 를 두 배 해준 것에
가운데 직사각형을 더한 것과 같죠.
그리고, 가운데 직사각형의 넓이는
원의 중심으로부터 두 현까지의
거리를 알면 구할 수 있습니다.
즉, 원의 반지름을 r 이라 하고,
원의 중심에서 두 현까지의 거리를
x, y 라 하면,
S+T= ½ × ( πr² - 4xy)
가 됩니다.
혹시 만약에,
S+T 의 반대쪽 부분을 원한다면,
½ × ( πr² + 4xy)
로 계산하면 됩니다.
3. 간단 풀이
이제, 아래 문제를 풀어보겠습니다.
(1)
CH=x, HB=10-x 라 두고,
두 직각삼각형 △ACH 와 △ABH 에서
AH 가 공통변이므로 피타고라스 정리를 쓰면,
CH=6, HB=4, AH=2 가 구해집니다.
(2)
CH=6, CB=10 이므로
원의 중심에서 AD 까지 거리는 1 입니다.
(3)
AH=2, AD=14 이므로,
원의 중심에서 BC 까지 거리는 5 입니다.
(4)
원의 중심을 O라 하고,
O 에서 현 BC 에 내린
수선의 발을 M 이라 하면,
직각삼각형 △OMB 에서
OM=MC=5 이므로 OC=r=5√2 가 됩니다.
(5)
따라서, 앞의 2 를 적용하면,
색칠한 부분의 넓이는
½ × ( 50π - 4×1×5) = 25π - 10
가 답이 됩니다.