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루리에 정리, 내접원과 방접원의 반지름 관계식 증명 두 가지 (중학 블랙라벨 2-2 심화문제)

글·그림 알티수학 쌤 · · 중2 수학

내접원과 방접원의 반지름 관계식이

내신문제집에 들어있네요.

루리에 정리라고 하는데,

예쁘게 생긴 공식이니 유도 해보겠습니다.~

1. 문제 소개

중학수학 블랙라벨 2-2 에 나오는

관련 문제는 아래와 같습니다.

루리에 정리, 내접원과 방접원의 반지름 관계식 증명 두 가지 (중학 블랙라벨 2-2 심화문제) — 그림 1

내신 교과 내용과는 살짝 동떨어져 보이는

KMO스러운 문제인데,

내신 문제집에 들어왔네요.

반칙 아닌가요..?

(참고로, 비슷한 문제가 오래전에

고1 3모 킬러로 나온적이 있습니다.)

2. 관련 공식

이 문제와 관련한 공식은

kmo 에서는 기초에 해당합니다.

1r=1rA+1rB+1rC\frac{1}{r}=\frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}

따라서, 이 문제의 답은

1r=12+13+14=1312\frac{1}{r}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}

이므로,

r=1213r=\frac{12}{13}

이 답이 됩니다.

3. 증명(1) : 넓이 활용

그러면, 이제

1r=1rA+1rB+1rC\frac{1}{r}=\frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}

이 등식을 증명해볼까요?

아래 그림에서,

BC=a, CA=b, AB=c 라 하고,

a+b+c2=s\frac{a+b+c}{2}=s

라 합니다.

(s 는 △ABC 의 둘레의 절반입니다.)

그리고, 내접원과 방접원의 반지름을 각각

r,rAr,\quad r_A

라 합시다.

루리에 정리, 내접원과 방접원의 반지름 관계식 증명 두 가지 (중학 블랙라벨 2-2 심화문제) — 그림 2

(1)

△ABC 의 넓이를 K 라 하고,

K 를 a, b, c, r 로 표현하면,

아래와 같습니다.

∣△ABC∣=K=12r (a+b+c)=rs\left|\triangle ABC\right|=K=\frac{1}{2}r\ (a+b+c)=rs

고쳐쓰면

1r=sK⋯ (1)\frac{1}{r}=\frac{s}{K}\quad \cdots \ (1)

입니다.

(2)

△ABC 의 넓이를 a, b, c, r_A 로 표현하면,

아래와 같습니다.

∣△ABC∣=∣△ABIA∣+∣△ACIA∣−∣△BCIA∣\left|\triangle ABC\right|=\left|\triangle ABI_A\right|+\left|\triangle ACI_A\right|-\left|\triangle BCI_A\right|
  =12c⋅rA+12b⋅rA−12a⋅rA\qquad \quad \ \, =\frac{1}{2}c\cdot r_A+\frac{1}{2}b\cdot r_A-\frac{1}{2}a\cdot r_A
  =rA⋅−a+b+c2\qquad \quad \ \, =r_A\cdot \frac{-a+b+c}{2}
  =rA⋅(s−a)\qquad \quad \ \, =r_A\cdot (s-a)

즉, 아래의 그림에서 빨강, 파랑 삼각형을 더하고

초록 삼각형을 빼주면 △ABC 의 넓이가 되죠.

루리에 정리, 내접원과 방접원의 반지름 관계식 증명 두 가지 (중학 블랙라벨 2-2 심화문제) — 그림 3
루리에 정리, 내접원과 방접원의 반지름 관계식 증명 두 가지 (중학 블랙라벨 2-2 심화문제) — 그림 4

그러므로,

∣△ABC∣=K=rA⋅(s−a)\left|\triangle ABC\right|=K=r_A\cdot (s-a)

입니다.

고쳐쓰면,

1rA=(s−a)K⋯ (2)\frac{1}{r_A}=\frac{(s-a)}{K}\quad \cdots \ (2)

가 됩니다.

마찬가지로,

1rB=(s−b)K⋯ (3)\frac{1}{r_B}=\frac{(s-b)}{K}\quad \cdots \ (3)
1rC=(s−c)K⋯ (4)\frac{1}{r_C}=\frac{(s-c)}{K}\quad \cdots \ (4)

이므로,

(2) + (3) + (4) 를 해주면,

1rA+1rB+1rC=(s−a)+(s−b)+(s−c)K=sK\frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}=\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{K}=\frac{s}{K}

가 됩니다. 이것은 앞의 (1) 과 같죠.

1r=sK⋯ (1)\frac{1}{r}=\frac{s}{K}\quad \cdots \ (1)

따라서, 증명이 완성되었습니다. 즉,

1r=1rA+1rB+1rC\frac{1}{r}=\frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}

입니다.

4. 증명(2) : 닮음 활용

삼각형의 닮음을 써서

한번 더 증명해 보겠습니다.

아래 그림과 같이 I, I_A 에서

직선 AB 에 내린 수선의 발을 각각

P, Q 라 하면 PI // QI_A 이므로,

△API ∽ △AQI_A (평행선 닮음) 입니다.

루리에 정리, 내접원과 방접원의 반지름 관계식 증명 두 가지 (중학 블랙라벨 2-2 심화문제) — 그림 5

그러므로,

PIQIA=APAQ⋯ (5)\frac{PI}{QI_A}=\frac{AP}{AQ}\quad \cdots \ (5)

가 되죠. 그런데,

PI = r

QI_A = r_A

AP = s - a

AQ = s

이므로, 이것들을 (5) 에 대입하면

rrA=s−as⋯ (6)\frac{r}{r_A}=\frac{s-a}{s}\quad \cdots \ (6)

이 됩니다.

마찬가지 방법으로,

rrB=s−bs⋯ (7)\frac{r}{r_B}=\frac{s-b}{s}\quad \cdots \ (7)
rrC=s−cs⋯ (8)\frac{r}{r_C}=\frac{s-c}{s}\quad \cdots \ (8)

이므로,

(6), (7), (8) 을 변변 더하면,

rrA+rrB+rrC=(s−a)+(s−b)+(s−c)s=1\frac{r}{r_A}+\frac{r}{r_B}+\frac{r}{r_C}=\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{s}=1

이 됩니다.

이제, 좌변 분자의 r 을 우변으로 보내면

1rA+1rB+1rC=1r\frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}=\frac{1}{r}

이 증명됩니다.

5. 공식의 명칭

이 공식은 가끔 루리에 정리라고들 합니다.

(L'Huilier's theorem)

스위스의 수학자 시몽 앙투안 장 루일리에가

1809년에 증명했다고 하네요. (위키피디아)

명칭이 중요한건 아니지만,

아무래도 이름이 있으면 기억하거나

의사소통 하기에 편리합니다.

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