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삼각형 내심과 외심의 거리 공식 소개와 증명 두 가지 (feat. 오일러 삼각형 정리, 오일러 부등식)

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

'오일러 정리' 는 종류가 많습니다.

여기서는 삼각형의 내심과 외심의 거리 공식인

오일러 정리를 두 가지 방법으로

증명해 보겠습니다.

1. 오일러 삼각형 정리

Euler's triangle theorem

또는

Euler's theorem in geometry

라는 이름이 붙어 있습니다.

삼각형의 내심과 외심의 거리를 d

외접원의 반지름을 R

내접원의 반지름을 r

이라 할 때,

d2=R2−2Rrd^2=R^2-2Rr

이 성립합니다.

2. 오일러 부등식

참고로, 오일러 삼각형 정리에서

곧바로 오일러 부등식이 나옵니다. 즉,

d2≥0d^2\ge 0

이므로,

R2−2Rr=R(R−2r)≥0R^2-2Rr=R(R-2r)\ge 0

에서

R≥2r\textcolor{#ff5f45}{R\ge 2r}

이 성립하죠. 이 부등식을

오일러 부등식이라 합니다.

즉, 임의의 삼각형의 외접원의 반지름은

내접원의 반지름의 두 배 이상입니다.

등호는 d = 0 일 때 이므로

정삼각형일 때 성립합니다.

삼각형 내심과 외심의 거리 공식 소개와 증명 두 가지 (feat. 오일러 삼각형 정리, 오일러 부등식) — 그림 1

위 그림과 같이 △ABC 가 정삼각형이면

I=O 이므로 d = 0 이고,

△IDC 가 30-60-90 삼각형이므로

R = 2r 이 성립합니다.

그 외는 모두 R > 2r 이 됩니다.

3. 오일러 삼각형 정리의 증명 (1)

그러면 이제,

d2=R2−2Rrd^2=R^2-2Rr

을 증명해 보겠습니다.

삼각형 내심과 외심의 거리 공식 소개와 증명 두 가지 (feat. 오일러 삼각형 정리, 오일러 부등식) — 그림 2

위의 그림과 같은 △ABC 의

내심과 외심을 생각합니다.

OI 의 길이를 R 과 r 로 표현하는것이 목표입니다.

아래 그림과 같이 OI 의 연장선과

외접원의 교점을 각각 P, Q 라 하고,

AI 의 연장선과 외접원의 교점을 L 로 둡니다.

삼각형 내심과 외심의 거리 공식 소개와 증명 두 가지 (feat. 오일러 삼각형 정리, 오일러 부등식) — 그림 3

AL 과 PQ 를 잇고

I 에 대한 방멱멱을 생각하면,

AI⋅IL=PI⋅IQAI\cdot IL=PI\cdot IQ
 =(PO+OI)⋅(QO−OI)\qquad \ =(PO+OI)\cdot (QO-OI)
 =(R+d)(R−d)\qquad \ =(R+d)(R-d)
 =R2−d2\qquad \ =R^2-d^2

이므로,

d2=R2−AI⋅ILd^2=R^2-AI\cdot IL

이 됩니다.

이제, 여기서 IL = BL 인 것은 알고 있으시죠?

따라서, 이제는

d2=R2−AI⋅BLd^2=R^2-AI\cdot BL

을 증명하면 됩니다.

AI 와 BL 을 포함하면서 R 과 r 도 연관되고

닮음이기까지한 삼각형 한쌍을

아래와 같이 만들어 줍니다.

삼각형 내심과 외심의 거리 공식 소개와 증명 두 가지 (feat. 오일러 삼각형 정리, 오일러 부등식) — 그림 4

여기서, △AIH ∽ △RLB (AA) 입니다.

호 BL 에 대한 원주각의 성질에 의해

∠HAI = ∠BAL = ∠BRL 이고,

∠AHI = ∠RBL = 90° 이니까요.

따라서,

AI:IH=RL:LBAI:IH=RL:LB

이므로,

AI⋅BL=IH⋅RL=r⋅2RAI\cdot BL=IH\cdot RL=r\cdot 2R

입니다. 이것을 앞의

d2=R2−AI⋅BLd^2=R^2-AI\cdot BL

에 대입하면,

d2=R2−2Rrd^2=R^2-2Rr

의 증명이 완성됩니다.

이 증명에서 △AIH ∽ △RLB (AA)

부분의 아이디어는 엘레강트할 뿐아니라

종종 출제되므로 잘 봐둬야 합니다.

4. 오일러 삼각형 정리의 증명 (2)

코사인 법칙으로 직접 OI 를 구해보는것도

재미있겠죠? 한 번 해보겠습니다.

삼각형 내심과 외심의 거리 공식 소개와 증명 두 가지 (feat. 오일러 삼각형 정리, 오일러 부등식) — 그림 5

그림과 같이 △LOI 에서 코사인 법칙을 씁니다.

여기서 ∠OLI = θ 라 합니다.

OI2=LO2+LI2−2LO⋅LI⋅cos⁡θOI^2=LO^2+LI^2-2LO\cdot LI\cdot \cos \theta
  =R2+LI2−2R⋅LI⋅cos⁡θ\quad \ \ =R^2+LI^2-2R\cdot LI\cdot \cos \theta

BC 의 중점을 M 이라 하고,

내심 I 에서 LR 에 내린 수선의 발을 N 이라 하면

MN = r 이 됩니다.

삼각형 내심과 외심의 거리 공식 소개와 증명 두 가지 (feat. 오일러 삼각형 정리, 오일러 부등식) — 그림 6

그래서,

LI⋅cos⁡θ=LN=LM+MNLI\cdot \cos \theta =LN=LM+MN
=LM+r\qquad \qquad \qquad =LM+r

을 대입해서 정리하면,

OI2=R2+LI2−2R⋅LI⋅cos⁡θOI^2=R^2+LI^2-2R\cdot LI\cdot \cos \theta
  =R2+LI2−2R(LM+r)\quad \ \ =R^2+LI^2-2R(LM+r)
  =R2−2Rr+LI2−2R⋅LM\quad \ \ =R^2-2Rr+LI^2-2R\cdot LM

거의 다 되어 가네요.

마지막 두 항만 처리하면 됩니다.

직각삼각형 △RBL 에서 BM 이 빗변에 내린

수선이므로,

2R⋅LM=BL22R\cdot LM=BL^2

이 되죠. (사영정리)

BL = LI 이므로

마지막 두 항은 상쇄되고

증명이 완성됩니다.

문제를 해결하는것도 중요하지만

문제를 푸는 과정에서 배울 수 있는

아이디어들을 자기것으로 만들어 나가는것도

중요하답니다.

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