회전하는 선분이 쓸고 지나간 넓이를 계산하는 방법 (중1-2 내신, 카발리에리 원리)
오늘은 선분이 한 점을 중심으로 회전할때
선분이 쓸고 지나가는 부분의 넓이를 구하는
공식을 만들어 드리겠습니다.
어떤 문제인지 볼까요?
중 1-2 에 나오는데,
고등학교 문제에도 가끔 나옵니다.
색칠된 부분의 넓이를 구해야 하는데,
색칠부분은 자세히 보면
선분 DE 가 C 를 중심으로 시계방향으로
120°회전하면서 선분 BA 에 도달 되는 동안
쓸고 지나가는 부분입니다.
즉, 아래 그림에서
△EDC 가 회전해서 △ABC 가 된 것을
관찰하면 회전각 120°를 확인할 수 있죠.
1. 계산법 (결론)
아무생각없이
아래 순서대로 계산하면 됩니다.
① 회전중심을 찾는다. (여기서는 C 죠.)
② 선분 위의 점 중에 회전중심에서
가장 먼 거리를 R,
가장 가까운 거리를 r
이라 합니다.
(이 문제에서는 R=12, r=6 이네요.)
③ 회전각 θ 를 확인합니다.
(이 문제에서는 θ=120° 입니다.)
④ 이제,
θ 와 R 로 만들어지는 부채꼴 넓이에서
θ 와 r 로 만들어지는 부채꼴 넓이를
빼면 답이 됩니다.
즉,
가 답입니다.
따라서, 계산하면 이 문제의 답은
아래와 같습니다.
참고로, 중1 교과의 풀이는 아래와 같습니다.
중학교 수준의 모범답안이지만,
시험에서는 단순히 큰 부채꼴에서
작은 부채꼴을 빼기만 하면 됩니다.
2. 예제 (1)
조금 더 풀어볼까요?
회전중심은 C 이고,
AC//ED 에서 엇각으로 ∠ACE 가 직각이고
∠DCE=60° 이니 회전각 θ=150°네요.
R=12, r=6 이므로 답은
입니다.
3. 예제 (2)
하나 더 보겠습니다.
회전중심은 D 이고,
B는 B' 으로
C는 C' 으로
회전했습니다.
회전각은 ∠CDC=60° 네요.
C가 회전한 자취인 원호 CC' 을 그려주면
구하려는 넓이는 선분BC 가 쓸고 지나간 넓이와
부채꼴 DCC' 넓이의 합입니다.
따라서,
입니다.
4. 예제 (4)
또, 하나 더 보겠습니다.
회전중심 E 와 회전각 60°는
문제에서 주어졌네요.
그리고, 회전한 점도 알려줬으니,
A → A'
B → B'
선분 BA 가 E를 중심으로 시계방향으로
60°회전해서 B'A' 이 된것이고,
이 때, 회전하는 동안 쓸고 지나간 넓이를
구하는 문제입니다.
그래서 계산하면,
입니다.
5. 증명
이제, 증명을 해보겠습니다.
예를 들어, 아래의 회전 문제를
다시 살펴보겠습니다.
중1 과정은 아닙니다만,
회전중심이 C 이고,
선분 AB 가 C 를 중심으로 반시계방향으로
∠BCD = θ 만큼 회전해서
선분 ED 가 되었습니다.
이제 아래 그림과 같이
선분 AB 위의 임의의 점 P 에 대해
CP 에 미소 거리를 살짝 더해준 점을 Q 라합니다.
P, Q 가 각각 반시계방향으로 θ 만큼
회전한 점을 각각 R, S 라 하면,
얇은 스트랩 미소요소 PQRS 를 생각할 수 있죠.
이 미소요소를 적분하면 됩니다.
적분구간은 작은 반지름 CB 로부터
큰 반지름 CA 까지 해주면
선분 AB 위의 모든 점이 P 로 반영됩니다.
미소요소 스트랩의 넓이는
이고,
아래와 같은 적분으로 써집니다.
계산하면,
θ 가 고정된 상수이므로,
이고,
를 계산하면,
가 나옵니다.
즉,
언제나 단순히
큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을
빼주면 됩니다.
6. 카발리에리 원리
참고로,
이 적분은 카발리에리 원리를 그대로
수식으로 적은것입니다.
이제, 수학적 근거는 마련해드렸으니
시험에서 복잡한 합동을 찾기 보다는
안심하고 부채꼴 넓이의 차를 계산하는것이
실수를 줄이기 좋습니다.
고등학생들은 적분단원 주제탐구로도
간단하게 해볼만 하겠네요.
참고로, 회전하는 선분의 회전반경이 가장 큰 점이
반드시 선분의 끝점이 아닐수도 있음에
주의하셔야 합니다.
회전 중심에서 회전하는 선분에 내린 수선의 발이
가장 짧은 회전반경이고,
그 점에서 가장 멀리있는 선분 위의 점이
가장 긴 회전반경입니다~