까다로운 경우의 수 케이스 분류 기준 잘 잡는 법 (feat. 2026년 3월 고2 학평 27번 좌석 배치 문제)
경우의 수 문제에서 케이스를 어떤 기준으로 나누느냐에 따라 풀이가 깔끔해지기도, 끝없는 노가다가 되기도 합니다. 오늘은 분류 기준을 잡는 두 가지 원칙을 정리해 보겠습니다.
오늘 풀어볼 문제는 아래와 같습니다.
2026년 3월 고2 학력평가 27번, 4점짜리 문제입니다.
문제의 조건을 한번 정리해보겠습니다.
(가) A 는 홀수 좌석 → 11, 21, 31, 41
(나) B 는 32 이하 좌석 → 11, 12, 21, 22, 31, 32
(다) C, D 는 각각 31 이상 좌석 → 31, 32, 41, 42
이 문제를 풀려면 케이스를 나눠서 세어야 하는데, 어떻게 나누면 잘될까요..
1. 분류 기준
이 문제에서 시도해볼만한 분류 기준 후보를 생각해보면,
후보 ① : A 가 앉는 자리로 나눈다
후보 ② : B 가 앉는 자리로 나눈다
후보 ③ : 31번 자리에 누가 앉는지로 나눈다
후보 ④ : 어떤 '구역'에 몇 명이 들어가는지로 나눈다
등, 생각할수 있는 방법은 여러가지가 있습니다.
그렇지만, 어느 기준을 선택하는가에 따라 풀이가 쉬워지기도하고 더러워지기도 합니다.
2. 참고서들 풀이
시중 참고서에 나와있는 풀이들은 전부 'A 가 어디 앉는지' 로 나누고 있습니다.
그냥 무지성으로 A 를 선택한것 같은데, 이 때, 빈틈없이 잘 세면 문제를 푸는데 아무 문제가 없지만 계산과정이 아래와 같이 복잡합니다.
실수 없이 끝까지 잘 계산하기 쉽지 않습니다.
(i) A 가 11에 앉을 때
B가 22 이하(11, 12, 21, 22)에 앉을 때:
- B의 선택: A가 앉은 자리를 제외한 3자리 중 1자리 → 3C1
- C, D의 선택: 31 이상의 4자리 중 2자리 → 4P2
B가 31 또는 32에 앉을 때:
- B의 선택: 2자리 중 1자리 → 2C1
- C, D의 선택: B가 앉은 자리를 제외한 남은 3자리 중 2자리 → 3P2
따라서, (i) 의 경우는 36 + 12 = 48 가지
(ii) A 가 21에 앉을 때
앞의 (i) 과 마찬가지로 48 가지
(iii) A 가 31에 앉을 때
B가 22 이하(11, 12, 21, 22)에 앉을 때:
- B의 선택: 4자리 중 1자리 → 4C1
- C, D의 선택: A가 앉은 31을 제외한 3자리 중 2자리 → 3P2
B가 32에 앉을 때:
- B의 선택: 1자리 중 1자리 → 1C1 (31은 A가 앉았으므로 불가)
- C, D의 선택: A, B가 앉은 자리를 제외한 남은 2자리 중 2자리 → 2P2
따라서, (iii) 의 경우는 24 + 2 = 26 가지
(iv) A 가 41에 앉을 때
B가 22 이하(11, 12, 21, 22)에 앉을 때:
- B의 선택: 4자리 중 1자리 → 4C1
- C, D의 선택: A가 앉은 41을 제외한 3자리 중 2자리 → 3P2
B가 31 또는 32에 앉을 때:
- B의 선택: 2자리 중 1자리 → 2C1
- C, D의 선택: A, B가 앉은 자리를 제외한 남은 2자리 중 2자리 → 2P2
따라서, (vi) 의 경우는 24 + 4 = 28 가지
그러므로, (i), (ii), (iii), (iv) 를 모두 더하면
으로 답이 나옵니다.
3. 1순위 원칙
좋은 분류 기준의 가장 좋은 조건은 겹치지 않고(Mutually Exclusive), 누락없이(Collectively Exhaustive) 나뉘는 것입니다. 머리글자를 따서 미씨(MECE) 라고 합니다.
만약 어떤 두 케이스가 겹치면 같은 경우를 두 번 세게 되고, 그러면 포함배제로 빼주는 작업이 따라붙습니다. 그리고 만약 누락 되는 경우가 있으면 정답보다 작은 값이 나옵니다.
그런데, MECE 로 경우를 나누면 단순히 더하기만 하면 됩니다. 따라서, 경우의 수 분류의 가장 1순위는 MECE 하게 나누는 것 입니다.
4. 2순위 원칙
앞의 2 에서 'A 자리로 나누기' 풀이는 사실 MECE 를 잘 지키고 있습니다.
A 의 자리는 한 명이 한 군데만 앉으므로 겹칠 일이 없고, A 가 앉을 수 있는 자리 11, 21, 31, 41 을 빠짐없이 다루고 있으니까요. 그래서 답이 150 으로 잘 나오기는 합니다.
그런데 풀이 과정이 복잡합니다. 즉, MECE 만으로는 다소 아쉬운 경우도 있습니다. 그래서, 잘 분류하기 위한 두 번째 원칙은 "가장 자유도가 적은 것을 기준으로 삼는다" 입니다.
그러면 두 번째 원칙을 고려해서 오늘의 문제를 다시 풀어보겠습니다.
먼저 학생별로 앉을 수 있는 자리의 개수를 살펴보면,
학생
앉을 수 있는 자리
개수
자유도
A(홀수)
11,21,31,41
4
느슨
B(≤32)
11,12,21,22,31,32
6
가장 느슨
C(≥31)
31,32,41,42
4
자유도 부족
D(≥31)
31,32,41,42
4
자유도 부족
위의 표에서 B 는 6개의 자리에 갈 수 있으니 상대적으로 자유도가 좋은편입니다. (그래서 B 를 기준으로 분류하는 것은 좋지 않습니다.)
반면에 A, C, D 가 앉을 수 있는 자리의 수는 4개라서 B 보다 자유도가 적습니다.
그런데, 조금 더 자세히 들여다보면, A 는 그 4자리를 혼자 쓰는 반면에, C 와 D 는 똑같은 4자리(31, 32, 41, 42)를 둘이서 나눠 써야 하죠, 따라서, C 와 D 는 앉을 수 있는 자리가 4 이기는 하지만, 같은 4자리를 두 명이 경쟁하니 A 보다는 C, D 가 자유도가 더 적습니다. 그래서 C, D 의 위치에 따라 분류하는 것이 가장 유리한 선택이 됩니다.
그래서, 고민을 조금만 더 해보면, 아래와 같이 MECE 한 분류를 할 수 있습니다.
{31, 32, 41, 42} 를 'C,D 전용석', 나머지 좌석 {11, 12, 21, 22} 를 '자유석' 이라 하겠습니다.
C, D 는 무조건 전용석에 들어가야 합니다. 그러면 이제 중요한 것은
"A 와 B 가 이 전용석을 몇 명이나 침범하느냐?"
가 중요합니다. A, B 는 두 명이니, 침범 인원은 0명, 1명, 2명 셋 중 하나이고, 이 세 가지가 MECE 임은 쉽게 알 수 있습니다. 즉, 이 침범 개수를 분류 기준으로 잡으면 알기 쉽다는 뜻입니다.
5. 침범 개수로 풀어보기
편의상 H={31, 32, 41, 42}, L={11, 12, 21, 22} 이라 하겠습니다. (H: high number 전용석, L: low number 자유석)
(1) 침범 0명 — A, B 모두 자유석 L 에
A : L 의 홀수 {11, 21} 중 1개 → 2가지
- B : L 의 4자리 중 A 자리 빼고 → 3가지
- C, D : 전용석 H 의 4자리 중 2자리 골라 나열 → ₄P₂ = 12가지
따라서 2×3×12 = 72가지
(2) 침범 1명 — A, B 중 한 명만 H 에
A 만 침범 : A 는 H 의 홀수 {31, 41} 중 1개(2가지), B 는 자유석 L 4자리(4가지), C·D 는 남은 H 3자리에서 ₃P₂=6가지 → 2×4×6 = 48가지
B 만 침범 : B 는 H 중 32 이하인 {31, 32} 중 1개(2가지), A 는 자유석 홀수 {11, 21}(2가지), C·D 는 ₃P₂=6가지 → 2×2×6 = 24가지
따라서 48+24 = 72가지
(3) 침범 2명 — A, B 모두 H 에
A 는 {31, 41}, B 는 {31, 32} 중에서 서로 안 겹치게 앉아야 합니다.
A=31 이면 B=32 (1가지)
A=41 이면 B=31 또는 32 (2가지)
즉 A, B 배치는 3가지, C·D 는 남은 H 2자리에 ₂P₂=2가지 → 3×2 = 6가지
세 케이스 (1), (2), (3) 을 더하면
이 나옵니다.
풀어보면 이 풀이가 확실히 알기 쉽습니다. 알기 쉬우면 실수로 틀리지 않을 가능성이 더 크다는 뜻이죠.
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