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정사영된 정삼각형의 크기 구하기 - 과학고 기하 (간단 풀이와 일반화)

글·그림 알티수학 쌤 · · 재미난 수학문제

여기서는 공간에 비스듬하게 놓인 정삼각형을 정사영해서 생긴 그림자 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 본체인 정삼각형의 한 변의 길이를 구하는 재미있는 문제를 풀어보겠습니다. 중2 수준의 피타고라스 정리로 풀리지만 관심있는 학생들을 위해 약간의 일반화를 생각해보겠습니다.

문제는 아래와 같습니다.

공간에서 한 변의 길이가 a 인 정삼각형을 어떤 평면에 정사영했더니, 그림자로 생긴 삼각형의 세 변의 길이가 각각 2, 3, 2√3 이 되었다. 이 때, a 를 구하여라.

정사영된 정삼각형의 크기 구하기 - 과학고 기하 (간단 풀이와 일반화) — 그림 1

그림과 같이 정삼각형의 세 변은 평면 α 에 대해 일반적으로 기울어져 있으므로 정사영을 시키면 길이가 줄어듭니다. (cos θ ≤ 1 이니까요.) 따라서 정삼각형의 한 변의 길이 a 는 정사영된 (아래쪽 삼각형의) 세 변의 길이보다 크고, 특히 가장 긴 2√3 보다도 큽니다. 상식적이죠.

1. 실전 풀이

일단 답을 먼저 구해보겠습니다.

계산을 좀 간편하기 위한 아이디어는, 아래 그림과 같이 C=C'=O 로 놓으면 좀 나아집니다.

나머지 두 꼭짓점 A, B 의 평면으로부터의 높이를 각각 AA' = p, BB' = q 라 하고, 일반성을 잃지않고, p > q > 도 가정하죠. 이때 두 꼭짓점 사이의 높이 차이는 |p - q| = p - q 가 됩니다.

정사영된 정삼각형의 크기 구하기 - 과학고 기하 (간단 풀이와 일반화) — 그림 2

이제, 정삼각형의 각 변을 빗변으로 하는 피타고라스 정리를 때립니다.

OA‾2=OA"‾2+p2⇒OA"‾2=a2−p2\overline {OA}^2=\overline {OA"}^2+p^2\quad \Rightarrow \quad \overline {OA"}^2=a^2-p^2
OB‾2=OB"‾2+q2⇒OB"‾2=a2−q2\overline {OB}^2=\overline {OB"}^2+q^2\quad \Rightarrow \quad \overline {OB"}^2=a^2-q^2
AB‾2=A"B"‾2+(p−q)2⇒A"B"‾2=a2−(p−q)2\overline {AB}^2=\overline {A"B"}^2+(p-q)^2\quad \Rightarrow \quad \overline {A"B"}^2=a^2-(p-q)^2

정사영된 세 변의 길이가 각각 2, 3, 2√3 이므로 제곱한 값은 각각 4, 9, 12 이고,

p > q > 0 조건에서 세 높이 성분 중 p² 이 가장 크므로, a² - p² 이 가장 작은 값인 4 가 되므로,

p=a2−4p=\sqrt{a^2-4}

나머지 두 성분 q² 과 (p-q)² 을 각각 9 와 12 에 대응시키면, (대칭적이므로 어느 쪽에 매칭해도 상관없습니다.)

q=a2−9q=\sqrt{a^2-9}
p−q=a2−12p-q=\sqrt{a^2-12}

가 됩니다.

이제, p 와 q 식을 높이 차이 식에 대입하면,

a2−4−a2−9=a2−12\sqrt{a^2-4}-\sqrt{a^2-9}=\sqrt{a^2-12}
a2−4=a2−9+a2−12\sqrt{a^2-4}=\sqrt{a^2-9}+\sqrt{a^2-12}

이고, 양변을 제곱하여 정리합니다.

a2−4=(a2−9)+(a2−12)+2(a2−9)(a2−12)a^2-4=(a^2-9)+(a^2-12)+2\sqrt{(a^2-9)(a^2-12)}
17−a2=2a4−21a2+10817-a^2=2\sqrt{a^4-21a^2+108}

다시 양변을 제곱하여 사차방정식을 유도하고,

289−34a2+a4=4(a4−21a2+108)289-34a^2+a^4=4(a^4-21a^2+108)
3a4−50a2+143=03a^4-50a^2+143=0
(a2−13)(3a2−11)=0(a^2-13)(3a^2-11)=0

에서 실수 조건 a² > 12 에 의해 a² = 13 만 가능합니다. 따라서, 답은

a=13a=\sqrt{13}

입니다.

2. 일반화 준비

이제, 관심있는 학생들을 위해 일반화를 해보겠습니다. (수학 심약자는 생략하셔도 됩니다.)

먼저 대칭성을 살리기 위해, 이번에는 꼭짓점 하나를 바닥에 붙이지 않겠습니다.

정사영된 정삼각형의 크기 구하기 - 과학고 기하 (간단 풀이와 일반화) — 그림 3

세 꼭짓점 A, B, C 의 높이를 그냥 z_A, z_B, z_C 로 두고, 세 높이차의 절댓값을 아래처럼 놓습니다.

g1=∣zA−zB∣,g2=∣zB−zC∣,g3=∣zC−zA∣g_1=|z_A-z_B|,\quad g_2=|z_B-z_C|,\quad g_3=|z_C-z_A|

여기서, 각각

g12=a2−4,g22=a2−9,g32=a2−12g_1^2=a^2-4,\quad g_2^2=a^2-9,\quad g_3^2=a^2-12

입니다. (즉, g_i 는 정삼각형 세 꼭짓점의 높이 차 입니다.)

정삼각형은 A → B → C → A 로 한 바퀴 돌면 제자리로 돌아오는 닫힌 도형이기 때문에 높이의 총 변화량은 0 이 됩니다. 즉,

(zA−zB)+(zB−zC)+(zC−zA)=0(z_A-z_B)+(z_B-z_C)+(z_C-z_A)=0

역으로, 합이 0 인 세 양은 머리에 꼬리를 이어 붙이면 저절로 닫힌 삼각형을 이룹니다. 삼각형이란 애초에 세 변을 이어 붙여 출발점으로 되돌아온 도형이고, 그것이 곧 "세 변벡터의 합이 0" 이라는 뜻이니까요. 따라서 g_1, g_2, g_3 을 세 변으로 하는 삼각형을 생각하면 이 삼각형은 넓이가 0 인 퇴화된(degenerated) 삼각형이 됩니다.

이것을 식으로 쓰면, 변의 길이가 g_1, g_2, g_3 인 삼각형의 넓이 T 에 대한 헤론 공식을 씁니다.

16T2=(g1+g2+g3)(−g1+g2+g3)(g1−g2+g3)(g1+g2−g3)16T^2=(g_1+g_2+g_3)(-g_1+g_2+g_3)(g_1-g_2+g_3)(g_1+g_2-g_3)

여기서, 적당히 전개하고 처리하면 아래처럼 정리됩니다.

16T2=2(g12g22+g22g32+g32g12)−(g14+g24+g34)16T^2=2(g_1^2g_2^2+g_2^2g_3^2+g_3^2g_1^2)-(g_1^4+g_2^4+g_3^4)

제가 앞에서 g_i² 을 잔뜩 구해놨으니 이 표현식이 딱 맞는 느낌이 듭니다.

퇴화 조건은 T=0 이므로 우변이 0 이고, 이것을 곱셈공식으로 한 번 더 정리하면 다음의 대칭식을 얻게 됩니다.

(g12+g22+g32)2=2(g14+g24+g34)\textcolor{#ff0010}{(g_1^2+g_2^2+g_3^2)^2=2(g_1^4+g_2^4+g_3^4)}

여기에 g_i² = a² - d_i² 를 대입하고 정리하면, 좌변은

g12+g22+g32=3a2−25g_1^2+g_2^2+g_3^2=3a^2-25

이고, 우변은

g14+g24+g34=3a4−2⋅25⋅a2+241g_1^4+g_2^4+g_3^4=3a^4-2\cdot 25\cdot a^2+241

이므로,

(3a2−25)2=2(3a4−2⋅25⋅a2+241)(3a^2-25)^2=2(3a^4-2\cdot 25\cdot a^2+241)

이 되고,

3a4−50a2+143=03a^4-50a^2+143=0

이 됩니다.

앞에서 계산했던 1 의 풀이와 완전히 같은 사차방정식이 나오네요, 이제, 인수분해하면

(a2−13)(3a2−11)=0(a^2-13)(3a^2-11)=0

이고, g_i² > 0 ⇔ a² > 12 이어야 하므로,

a=13\textcolor{#ff0010}{a=\sqrt{13}}

으로 확정됩니다.

대칭성을 살려놨고, 이제 일반화 해봅시다~

3. 케일리-멩거 판별식

앞에서 얻은 대칭 등식은 사실 n차원 부피를 다루는 케일리-멩거 판별식 (Cayley–Menger determinant)이라는 것과 관련이 있습니다. 모양은 아래와 같이 생겼습니다. (꽤 재미있는 내용이니 관심 있는 학생은 더 공부해 보세요~)

∣011110g12g321g120g221g32g220∣=0\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&g_1^2&g_3^2\\1&g_1^2&0&g_2^2\\1&g_3^2&g_2^2&0\end{vmatrix}=0

(행렬 안의 g_i² 은 세 점 사이의 거리 제곱들입니다.)

이 행렬식을 전개하면 정확히 2에서 찾아낸 대칭 등식이 나옵니다. 즉, "세 점이 한 직선 위에 있다.(퇴화)" 는 기하 조건이 "케일리-멩거 판별식 = 0" 이라는 대수 조건과 같은 것이 됩니다.

이 판별식은 모양을 유지한 채 사이즈만 키우면 그대로 일반화 됩니다. 점의 개수가 늘어나면 행렬이 커지고, 공간의 차원이 올라가도 형태는 똑같습니다. 해보면 재미있습니다.

4. 다각형으로 일반화

정삼각형 대신 한 변의 길이가 a 인 임의의 다각형(예: 정n각형)을 정사영하는 경우를 생각해 봅시다.

아이디어는 그대로 이어집니다. 닫힌 도형이므로 한 바퀴 돌면 높이 변화의 총합이 0 이죠.

(zA−zB)+(zB−zC)+(zC−zD)+⋯=0(z_A-z_B)+(z_B-z_C)+(z_C-z_D)+\cdots =0

이 "닫힘 → 합이 0 → 퇴화" 라는 구조는 앞의 정삼각형에서와 똑같습니다. 다만 삼각형과 다른 점은 다각형은 n 개의 높이 벡터가 모두 한 직선 위에 놓여야 하므로 조건이 더 늘어나기는 합니다.

5. 고차원으로 일반화

일반화 방향은 여러 가지가 가능한데, 그중 하나로 정사영을 평면이 아니라 저차원 공간으로 내리는 방향을 한번 생각해 보겠습니다. (그 외의 일반화는 각자 연구해 보시길...)

지금까지는 평면(2차원)으로 정사영했습니다. 이때 잃어버리는 성분은 높이를 의미하는 수직축 (1차원) 이었습니다. 이것을 일반화해서, 잃어버리는 성분이 m 차원이 되도록 정사영한다고 해봅시다. (이 m 을 여차원(codimension)이라고 합니다.)

그러면 각 높이차 는 실수(스칼라)가 아니라 m 차원 벡터

gi⃗\vec{g_i}

가 됩니다. 닫힘 조건도 벡터합으로 바뀌구요.

g1⃗+g2⃗+g3⃗=0⃗\vec{g_1}+\vec{g_2}+\vec{g_3}=\vec{0}

참고로, m=1 일 때는 g_i 가 스칼라라서 전부 한 직선 위로 눌려 퇴화했고, 그래서 등식 하나가 깔끔하게 나왔습니다. 그런데 m>2 이면 벡터들이 옆으로 벌어질 수 있어서 퇴화가 강제되지 않습니다. 대신 "이 점들이 m 차원 공간 안에 다 들어가는가" 라는 조건으로 바뀌고, 이것이 바로 케일리-멩거 판별식으로 판정됩니다.

행렬식의 모양은 3에서 본 것과 같고, 크기만 커집니다. 점이 n 개면 아래처럼 (n+1) × (n+1) 행렬식이 됩니다.

∣011⋯110g122⋯g1n21g1220⋯g2n2⋮⋮⋮⋱⋮1g1n2g2n2⋯0∣\begin{vmatrix}0&1&1&\cdots &1\\1&0&g_{12}^2&\cdots &g_{1n}^2\\1&g_{12}^2&0&\cdots &g_{2n}^2\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&g_{1n}^2&g_{2n}^2&\cdots &0\end{vmatrix}

(여기서 g_ij 는 i 번째와 j 번째 점 사이의 높이차 크기입니다.)

이 문제는 오늘은 여기까지만 해보는걸로 하겠습니다..

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