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삼각함수 치환적분 구간은 꼭 주치(principal value)에서만 변환해야 할까?

글·그림 알티수학 쌤 · · 알티수학 인벤토리

치환적분에서 적분구간을 삼각함수의 주치로 환산하는 건 다들 아시죠. 그런데 만약 주치가 아닌 값으로 구간을 잡으면 어떻게 될까요? 정답은 '대부분의 경우 상관없다.' 입니다.

1. 치환적분의 핵심

정적분에서 x = g(θ) 로 치환하면

∫abf(x) dx=∫αβf(g(θ)) g"(θ) dθ\int _a^bf(x)\, dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(g(\theta ))\, g"(\theta )\, d\theta

입니다. 이 때 필요한 조건은 g(α) = a, g(β) = b 이고, g(θ) 가 [α, β] 에서 연속이고 미분가능이면 됩니다.

여기서 두 가지 사실을 알려드리자면,

① g 가 일대일(단사)일 필요는 없습니다.

② α > β 여도 상관없습니다.

그냥 그대로 실수없이 계산하면 됩니다.

그럼 도대체 왜 교과서에서 주치를 쓰라고 하는 걸까요?

2. 주치, 비주치 무관하게 답은 잘 나옵니다.

실험을 해보겠습니다.

∫011−x2 dx를x=sin⁡θ로 치환해서\int _0^1\sqrt{1-x^2}\, dx\quad \text{를}\quad x=\sin \theta \quad \text{로 치환해서}

θ 를 여러 가지로 잡아보겠습니다. 즉,

dx=cos⁡θ dθdx=\cos \theta \, d\theta

이고,

1−sin⁡2θ=∣cos⁡θ∣\sqrt{1-\sin ^2\theta }=|\cos \theta |

이므로

∫011−x2 dx=∫αβ∣cos⁡θ∣⋅cos⁡θ dθ\int _0^1\sqrt{1-x^2}\, dx=\int _{\alpha }^{\beta }|\cos \theta |\cdot \cos \theta \, d\theta

가 됩니다. 여기서

sin⁡α=0,sin⁡β=1\sin \alpha =0,\quad \sin \beta =1

인 α, β 를 여러가지로 잡아서 계산해보겠습니다.

Case 1. 주치

θ∈[0,π2]일 때,cos⁡θ≥0이므로∣cos⁡θ∣=cos⁡θ입니다.\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\quad \text{일 때,}\quad \cos \theta \ge 0\quad \text{이므로}\quad |\cos \theta |=\cos \theta \quad \text{입니다.}

따라서,

∫0π/2cos⁡θ⋅cos⁡θ dθ=∫0π/2cos⁡2θ dθ\int _0^{\pi /2}\cos \theta \cdot \cos \theta \, d\theta =\int _0^{\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta

이고,

=∫0π/21+cos⁡2θ2 dθ=[θ2+sin⁡2θ4]0π2=\int _0^{\pi /2}\frac{1+\cos 2\theta }{2}\, d\theta =\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]_0^{\frac{\pi }{2}}

가 됩니다. 그러므로,

=π4+0=π4=\frac{\pi }{4}+0=\textcolor{#ff0010}{\frac{\pi }{4}}

가 나옵니다.

깔끔하네요.

Case 2. 비주치 + 적분 방향 반대로

적분 구간이 반대방향으로 되도록,

sin⁡π=0,sin⁡π2=1\sin \pi =0,\quad \sin \frac{\pi }{2}=1

로 둬서 한번 해볼까요?

(해보면, 아래끝 π 가 위끝 π/2 보다 크지만 전혀 문제없습니다. 그대로 계산하면 됩니다.)

θ∈[π2,π]에서cos⁡θ≤0이므로∣cos⁡θ∣=−cos⁡θ가 되고,\theta \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]\quad \text{에서}\quad \cos \theta \le 0\quad \text{이므로}\quad |\cos \theta |=\textcolor{#ff0010}{-\cos \theta }\quad \text{가 되고,}
∫ππ/2(−cos⁡θ)⋅cos⁡θ dθ=−∫ππ/2cos⁡2θ dθ\int _{\pi }^{\pi /2}(-\cos \theta )\cdot \cos \theta \, d\theta =-\int _{\pi }^{\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta

에서,

=∫π/2πcos⁡2θ dθ(∵적분 방향 뒤집으면 부호 반전 됨)=\int _{\pi /2}^{\pi }\cos ^2\theta \, d\theta \quad (\because \text{적분 방향 뒤집으면 부호 반전 됨})

이므로,

=[θ2+sin⁡2θ4]π/2π=(π2+0)−(π4+0)=π4=\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]_{\pi /2}^{\pi }=\left(\frac{\pi }{2}+0\right)-\left(\frac{\pi }{4}+0\right)=\textcolor{#ff0010}{\frac{\pi }{4}}

가 됩니다. 즉, 계산만 제대로 하면 답은 똑같습니다.

Case 3. 다음 주기에서 잡으면?

이번엔,

sin⁡2π=0,sin⁡5π2=1\sin 2\pi =0,\quad \sin \frac{5\pi }{2}=1

로 한번 잡아보겠습니다.

(이 경우에도 계산만 제대로 하면 아무 문제 없습니다.)

적분 구간이

θ:2π→5π2\theta :\quad 2\pi \to \frac{5\pi }{2}

이므로, 여기서,

cos⁡θ≥0이고,∣cos⁡θ∣=cos⁡θ가 되죠.\cos \theta \ge 0\quad \text{이고,}\quad |\cos \theta |=\cos \theta \quad \text{가 되죠.}

따라서,

∫2π5π/2cos⁡2θ dθ=[θ2+sin⁡2θ4]2π5π/2\int _{2\pi }^{5\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta =\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]_{2\pi }^{5\pi /2}

이고, 계산하면,

=(5π4+0)−(π+0)=π4=\left(\frac{5\pi }{4}+0\right)-\left(\pi +0\right)=\textcolor{#ff0010}{\frac{\pi }{4}}

이므로, 똑같은 답이 잘 나옵니다.

Case 4. 아래끝과 위끝이 멀리 떨어져 있으면?

이번엔,

sin⁡0=0,sin⁡5π2=1으로 해보겠습니다.\sin 0=0,\quad \sin \frac{5\pi }{2}=1\quad \text{으로 해보겠습니다.}

적분구간이 길어졌네요. 구간이

θ:0→5π2\theta :\quad 0\to \frac{5\pi }{2}

인데, 이 구간에서 이번엔 cos θ 의 부호가 여러 번 바뀝니다. (계산이 피곤해지네요. 그렇지만 학생 여러분의 이해를 돕기위해 제가 계산 해드리겠습니다.) 즉,

cos⁡θ≥0인 구간:[0,π2], [3π2,5π2]\cos \theta \ge 0\text{인 구간}:\quad \left[0,\frac{\pi }{2}\right],\ \left[\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right]
cos⁡θ≤0인 구간:[π2,3π2]\cos \theta \le 0\text{인 구간}:\quad \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]

이므로, 절댓값을 구간별로 쪼개서 처리해야 합니다.

∫05π/2∣cos⁡θ∣⋅cos⁡θ dθ\int _0^{5\pi /2}|\cos \theta |\cdot \cos \theta \, d\theta

을 계산하면,

=∫0π/2cos⁡2θ dθ−∫π/23π/2cos⁡2θ dθ+∫3π/25π/2cos⁡2θ dθ=\int _0^{\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta \textcolor{#ff0010}{-}\int _{\pi /2}^{3\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta +\int _{3\pi /2}^{5\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta

이고, 각각을 계산해야 하죠.

∫0π/2cos⁡2θ dθ=π4\int _0^{\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta =\frac{\pi }{4}
∫π/23π/2cos⁡2θ dθ=[θ2+sin⁡2θ4]π/23π/2=3π4−π4=π2\int _{\pi /2}^{3\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta =\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]_{\pi /2}^{3\pi /2}=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}
∫3π/25π/2cos⁡2θ dθ=[θ2+sin⁡2θ4]3π/25π/2=5π4−3π4=π2\int _{3\pi /2}^{5\pi /2}\cos ^2\theta \, d\theta =\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]_{3\pi /2}^{5\pi /2}=\frac{5\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}

따라서,

π4−π2+π2=π4\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\textcolor{#ff0010}{\frac{\pi }{4}}

역시 답은 똑같습니다.

그런데, 보다시피 구간을 쪼개고, 부호를 판별하고, 적분을 세 번이나 해야 합니다. 주치에서는 한 줄이면 끝나는 계산이었는데 말이죠..

요컨대, sin(또는 cos) 치환에서는 어떤 θ 값을 잡든지, 아래끝이 위끝보다 크든 상관없이, 서로 다른 주기에서 잡든지 말든지, 절댓값과 부호만 원칙적으로 처리하면 답은 항상 같습니다.

다만 그걸 처리하는 계산이 더러워질 뿐입니다.

3. tan 치환: 점근선은 넘지 못함

그런데, 적분불가능한 점이 포함되면 곤란해집니다. 한번 확인해보겠습니다.

예를 들어,

∫0111+x2 dx\int _0^1\frac{1}{1+x^2}\, dx

를 x = tan θ 로 치환해 봅시다.

dx=sec⁡2θ dθ이고,11+tan⁡2θ⋅sec⁡2θ=1이므로dx=\sec ^2\theta \, d\theta \quad \text{이고,}\quad \frac{1}{1+\tan ^2\theta }\cdot \sec ^2\theta =1\quad \text{이므로}

피적분함수가 깔끔해져서,

∫x=0x=π/41 dθ\int _{x=0}^{x=\pi /4}1\, d\theta

를 계산하면 됩니다.

Case A. 주치에서 계산하는 경우

θ:0→π4\theta :\quad 0\to \frac{\pi }{4}

이므로,

∫0π/41 dθ=π4−0=π4\int _0^{\pi /4}1\, d\theta =\frac{\pi }{4}-0=\textcolor{#ff0010}{\frac{\pi }{4}}

로 답이 잘~ 나옵니다.

Case B. 같은 가지(branch)의 비주치

이제, 주치가 아닌 값으로 계산해 보겠습니다. 예를 들어,

θ:π→5π4\theta :\quad \pi \to \frac{5\pi }{4}

로 해볼까요?

여기서 주의할것은 구간안에 점근선이 없어서 연속입니다. 계산하면,

∫π5π/41 dθ=5π4−π=π4\int _{\pi }^{5\pi /4}1\, d\theta =\frac{5\pi }{4}-\pi =\textcolor{#ff0010}{\frac{\pi }{4}}

로 나옵니다. 똑같은 답입니다.

Case C. 점근선을 넘는 경우

이제, 점근선이 적분구간에 포함되는 경우도 계산을 시도해보겠습니다. 예를들어,

θ:0→5π4\theta :\quad 0\to \frac{5\pi }{4}

를 해보겠습니다.

그리고, 이 구간에는 점근선이 있습니다. 점근선은

θ=π2\theta =\frac{\pi }{2}

입니다.

여기서 tan θ 는 +∞ 로 발산했다가 -∞ 에서 다시 올라오므로, 실제로는 [0,1] 이 아니라 실수 전체를 한 바퀴 돌고 온 셈입니다. (좀 다르죠.)

이걸 무시하고 그대로 계산하면,

∫05π/41 dθ=5π4≠π4\int _0^{5\pi /4}1\, d\theta =\frac{5\pi }{4}\ne \frac{\pi }{4}

엉뚱한 답이 나와서 틀리게 됩니다.

그래서, 점근선은 적분구간에 포함하면 안됩니다.

4. 점근선이 안되는 이유

치환적분 공식이 성립하려면 치환함수 g(θ) 가 적분구간에서 연속이어야 합니다. tan θ 는 점근선에서 값이 정의되지 않고 불연속입니다. (sec θ 같은 것도 마찬가지입니다.)

정확하게는 증명이 필요하지만 단순히 말하자면 치환적분할 때 미분이 사용되는데, 그 미분이 안되니까라고 기억해두면 맞습니다. (이 부분을 엄밀하게 따져보면 여러가지 상황이 있는데, 이건 다음에 다른 글에서 한번 다뤄보겠습니다.)

그래서, 지금은 점근선이 포함된 구간에서는 치환적분 불가라고 기억해두기로 합니다.

5. 미분가능 조건은 얼마나 엄격해야 하는가?

조금만 더 알려드리자면, 앞의 1 에서 치환함수가 "연속이고 미분가능"이어야 한다고 했는데, 사실 이 조건은 약간 느슨해도 됩니다.

일단, 유한개의 점에서 미분불가능해도 치환적분은 성립합니다. 그 점들에서는 리만합의 미소 직사각형의 폭이 0이 되니 적분값에 영향을 주지 않기 때문입니다.

예를 들어, g(θ) 가 [α, β] 에서 연속이고, 유한개의 점을 제외하면 미분가능하고, g'(θ) 가 적분가능하면 치환적분 공식은 그대로 성립합니다.

참고로, 실은 (르베그 적분) 유한개가 아니라 가산개(countable)의 점에서 미분불가능해도 성립합니다. 가산 집합은 측도(measure)가 0이라서 적분값에 전혀 기여하지 않기 때문이죠. 우리는 일단, 여기서는 "유한개는 확실히 OK" 정도만 기억해두기로 합시다.

6. 결론: 주치가 최선

여기까지 내용을 요약해 보겠습니다.

① sin, cos 치환:

점근선이 없으므로, 비주치에서 구간을 잡든, 아래끝과 위끝이 서로 다른 주기에서 오든, 적분 방향이 역전되든, 절댓값 처리만 정확히 하면 답은 맞습니다. 다만, 계산이 더러워질 뿐~

② tan, sec 치환:

같은 가지(branch) 안의 비주치는 괜찮습니다. 하지만, 점근선을 넘는 순간 치환은 틀린 답을 만듭니다.

그래서, 주치 구간에서 치환하면 다음과 같은 잇점이 있습니다.

치환함수가 일대일(단사) → 역함수가 존재해서 구간 대응이 명확

절댓값 처리가 쉬움 → 부호 판정 비교적 쉬움

점근선을 넘을 위험 없음 → tan, sec 도 안전하게 계산 가능

그래서, 앞으로 주치에서 치환을 하도록 합시다~

삼각함수 치환적분 구간은 꼭 주치(principal value)에서만 변환해야 할까? — 그림 1

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