내심의 위치벡터 유도 (feat. 기하, 내분점, 무게중심 좌표계)
앞의 글(삼각형 내심의 위치 공식)에서 유도한 내심의 위치 비율을 그대로 이용하면, 내심의 위치벡터를 계산할 수 있습니다. 매우 대칭적이고 아름다운 형태로 나옵니다.
어제 쓴 글에서 △ABC 의 내심 I 에 대해 아래의 결과를 유도했습니다.
오늘은 이 비율을 이용해서 내심의 위치벡터를 구해보겠습니다.
1. 표기법
아래 그림과 같이 임의의 점 O 에 대해
로 놓겠습니다. 그리고, BC=a, CA=b, AB=c 입니다.
여기에서 AI 의 연장선과 BC 의 교점 D 를 표시하고, BI 를 이으면
2. D 의 위치벡터
D 는 BC 를 c:b 로 내분하는 점이므로, 내분점 공식에 의해
입니다.
3. I 의 위치벡터
I 는 AD 를 (b+c):a 로 내분하는 점이므로, 다시 내분점 공식을 적용하면
여기에 앞에서 구한 D 의 위치벡터를 대입합니다.
분자에서 (b+c) 가 약분되고,
가 됩니다.
즉, 각 꼭짓점의 위치벡터에 대변의 길이를 가중치로 곱해서 더하고, 전체 둘레로 나눈 형태입니다. 대칭적으로 엄청 예쁜 결과가 나왔습니다.
4. 무게중심과 비교
참고로, 무게중심 G 의 위치벡터는
이죠. 무게중심은 세 꼭짓점에 동일한 가중치 1:1:1 을 준 것이고, 내심은 대변의 길이 a, b, c 를 가중치로 준 것입니다. 구조는 같고, 가중치만 다릅니다.
5. 참고 — 무게중심 좌표계
해석기하학에서 삼각형의 무게중심 좌표계(Barycentric coordinates)라는 것이 있습니다. 세 삼각형 △PBC, △PCA, △PAB 의 넓이비로 점 P 의 위치를 정해주는 좌표계 입니다. 그리고, 이 넓이비들은 꼭짓점의 가중치 비율과 동일합니다. 그래서 무게중심 좌표계에서 내심 I 의 좌표는
로 깔끔하게 표시됩니다. I 에서 세 변까지의 거리가 내접원의 반지름으로 같기 때문이죠.
이것은 각 꼭짓점 A, B, C 에 질량 a, b, c 를 매달았을 때의 물리적 무게중심이 내심과 일치한다는 의미이기도 합니다.
이 좌표계에 관한 이야기는 다음에 따로 다루겠습니다.
6. 결론
① 지난번 글 "삼각형 내심의 위치를 세 변의 길이로 나타내는 예쁜 공식 - 내신 심화, 수능 준필수 암기 공식! (feat. 각의 이등분선 정리)" 에서의 결과 AI:ID=(b+c):a 와 내분점 공식을 조합하면, 내심의 위치벡터가 바로 유도됩니다.
② 결과는 아래와 같습니다.
③ 무게중심과 같은 구조이고, 가중치만 1:1:1 대신 a:b:c 로 바뀐 것입니다. 암기하기에도 쉽습니다.
평면 벡터를 공부해야 하는 고2, 고3 들은 공부해 둬야 할 내용입니다.
