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순환소수 판별에서 기약분수 분모의 소인수 2, 5 의 역할 (feat. 순순환소수, 혼순환소수, 중2 수학)

글·그림 알티수학 쌤 · · 중2 수학

중2 순환소수 단원에서 —"분모의 소인수가 2 또는 5 뿐이면 유한소수"— 라고 되어 있습니다. 교과서에서 깔끔하게 증명은 해주지 않고 '그렇게 되어있다.' 라고 해놨습니다. 오늘은 이 규칙의 양방향 증명과 유한소수, 순순환소수, 혼순환소수를 판별하는 방법을 알려드리겠습니다.

0. 용어

먼저, 교과서에 나오는 용어를 볼까요?

순환소수 판별에서 기약분수 분모의 소인수 2, 5 의 역할 (feat. 순순환소수, 혼순환소수, 중2 수학) — 그림 1
순환소수 판별에서 기약분수 분모의 소인수 2, 5 의 역할 (feat. 순순환소수, 혼순환소수, 중2 수학) — 그림 2

그리고, 요즘 교과서에는 없지만 용어 두 개만 더 봅시다.

순순환소수 : 소수점 바로 아래부터 순환마디가 시작되는 순환소수

0.333…＝0.3˙,0.142857142857…＝0.1˙42857˙0.333\dots ＝0.\dot{3},\qquad 0.142857142857\dots ＝0.\dot{1}4285\dot{7}

혼순환소수 : 순환하지 않는 부분이 먼저 나온 뒤에 순환마디가 시작되는 순환소수

0.1666…＝0.16˙,0.58333…＝0.583˙0.1666\dots ＝0.1\dot{6},\qquad 0.58333\dots ＝0.58\dot{3}

교과에서 빠진 내용이라 요즘 문제집에서 이 단어를 직접 사용하지 않지만 내용물은 종종 출제되고 있습니다. 예를 들면,

순환소수 판별에서 기약분수 분모의 소인수 2, 5 의 역할 (feat. 순순환소수, 혼순환소수, 중2 수학) — 그림 3

1. 결론 먼저 봅시다!!

기약분수의 분모를 소인수분해 하면, 소수의 종류가 결정되고 아래와 같이 됩니다.

기약분수 분모의 소인수가 2 또는 5만 ⟺ 유한소수

기약분수 분모의 소인수에 2도 5도 없음 ⟺ 순순환소수

기약분수 분모에 2 또는 5와 그 외의 소인수가 혼재 ⟺ 혼순환소수

이 세 가지가 mece 하게 모든 경우를 채워줍니다.

즉, 기약분수의 분모는 반드시 위 세 가지 중 하나에 해당하고, 소수 표현도 유한소수·순순환소수·혼순환소수 중 반드시 하나에 해당하니까요.

참고로 ⟺ 표시는 필요충분조건(양방향)을 뜻합니다.

이제, 앞의 문제는 쉽게 풀 수 있습니다. 1분컷 가능하겠죠

순환소수 판별에서 기약분수 분모의 소인수 2, 5 의 역할 (feat. 순순환소수, 혼순환소수, 중2 수학) — 그림 4

분모 180을 소인수분해 해보면,

180=22⋅32⋅5180=2^2\cdot 3^2\cdot 5

인데, 일단 n 이 소인수 2 와 5 를 약분시켜서 없애야 하니 분자 n 은 20의 배수이어야 합니다. 따라서, 가장 작은 자연수 n 은 20 이 답이 됩니다.

이제 이 세 가지 필요충분조건을 증명해 보겠습니다.

2. 유한소수 ⟺ 분모에 2, 5만

(1) → 방향 증명

"유한소수이면, 기약분수 분모의 소인수가 2, 5만 있다."

유한소수는 소수점 아래 자릿수가 유한개(k자리)인 수입니다. 이 수에 10^k 를 곱하면 소수점이 사라져서 정수가 되겠죠. 즉,

x×10k=N(정수)x\times 10^k=N\quad \text{(정수)}

이므로

x=N10kx=\frac{N}{10^k}

가 되죠. 이 분수를 기약분수로 약분하더라도 분모에는 2와 5만 남습니다. 약분은 소인수를 지우는 것이지, 새로운 소인수를 만들지 않으니까요. (증명완료)

(2) ← 방향 증명

기약분수 분모의 소인수가 2와 5만 있으면, 유한소수이다.

기약분수를 n/m 이라 하고 분모 m 을

m=2a×5bm=2^a\times 5^b

라 둘 수 있죠. 여기서, k=max{a,b} 로 잡으면

nm×10k=n×2k−a×5k−b\frac{n}{m}\times 10^k=n\times 2^{k-a}\times 5^{k-b}

가 정수가 됩니다. 즉, 10^k 를 곱해서 정수를 만들 수 있으므로 유한소수입니다. (증명완료)

∴기약분수 분모의 소인수가 2와 5만 ⟺ 유한소수\therefore \textcolor{#ff0010}{\text{기약분수 분모의 소인수가 2와 5만}\ \Longleftrightarrow \ \text{유한소수}}

참고로, 여기서 "기약"이 중요합니다.

기약이 아닌 분수, 예를 들어 3/12 는 분모 12＝2²×3 에 소인수 3이 있지만, 기약분수로 약분하면 1/4 가 되어 분모에 소인수 2만 남습니다. 즉, 유한소수인지 아닌지는 기약분수로 만든 뒤에 판별해야 합니다.

그래서, 시험에서는 기약이 아닌 분수를 주고 유한소수가 되도록 분자를 결정하는 문제가 자주 나옵니다. 예를 들면,

순환소수 판별에서 기약분수 분모의 소인수 2, 5 의 역할 (feat. 순순환소수, 혼순환소수, 중2 수학) — 그림 5

간단하게 풀이를 해보면,

m=17k 가 되어야 하고, 50 이하 조건에서 k=1,2 만 가능합니다.

17k5×17×n=k5n\frac{17k}{5\times 17\times n}=\frac{k}{5n}

이므로, n 은, {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50} 중에 하나가 될 수 밖에 없습니다.

그러면, 이제 쉽죠.

가장 큰 수 A 는 k=2, n=1 일 때 2/5 가 되고, 가장 작은 수 B 는 k=1, n=50 일 때, 1/250 이 됩니다.

3. 순순환소수 ⟺ 분모에 2도 5도 없음

이 증명에서는 아래와 같은 약수의 성질을 사용하겠습니다.

m과 n이 서로소이고, m이 n×K의 약수이면, m은 K의 약수이다.

m의 소인수가 n에는 없으므로, 소인수가 전부 K에서 와야 하니까요.

(1) → 방향 증명

"순순환소수이면, 기약분수 분모의 소인수에 2도 5도 없다."

순순환소수 x의 순환마디 주기를 p라 하겠습니다.

10^p을 곱하면 소수점이 p자리 왼쪽으로 밀리는데, 소수점 첫째 자리부터 바로 순환하므로 소수 부분은 원래와 똑같습니다. 따라서,

10p×x−x=정수 M10^p\times x-x=\text{정수}\ M
즉,(10p−1)×x=M\text{즉,}\quad (10^p-1)\times x=M

이므로,

x=M10p−1x=\frac{M}{10^p-1}

이 됩니다. 여기서 분모는

p개⏟99⋯9\underbrace{p\text{개}}{_{99\cdots 9}}

인데, 이것은

① 홀수입니다. 10^p은 짝수이니까 1을 빼면 홀수 → 2의 배수가 아님

② 일의 자리가 9입니다. → 5의 배수가 아님

따라서, 분모의 소인수에 2도 5도 없습니다. 그래서, 여기서 기약분수로 약분하더라도, 약분은 소인수를 지울 뿐 새로 만들지 않으므로, 기약분수 분모의 소인수에도 2와 5는 없습니다. (증명완료)

(2) ← 방향 증명

"기약분수 분모의 소인수에 2도 5도 없으면, 순순환소수이다."

기약분수 x＝n/m에서 m의 소인수에 2도 5도 없다고 하겠습니다. (단, m≥2)

앞의 2에서 "분모에 2, 5만 있어야 유한소수"를 보였으므로, m에 2, 5가 아닌 소인수가 있는 이상 유한소수가 아닙니다. 유한소수가 아닌 유리수는 반드시 순환소수입니다. (이것의 증명은 나눗셈에서 나머지가 유한개이므로 결국 반복이 일어난다는 건데 여기서는 생략하겠습니다.)

이제, 혼순환소수라 가정하고 모순을 이끌어 보겠습니다.(귀류법)

혼순환소수라서 비순환부가 k자리(k≥1), 순환부의 주기가 p자리라고 하겠습니다.

10k+p×x−10k×x10^{k+p}\times x-10^k\times x

를 계산하면 정수가 됩니다. 즉,

10k(10p−1)×nm=정수 M10^k(10^p-1)\times \frac{n}{m}=\text{정수}\ M

인데, 이 식에서 양변에 m을 곱하면,

10k(10p−1)×n=m×M10^k(10^p-1)\times n=m\times M

이므로 m은 좌변의 약수입니다. 그런데, gcd(m, n)＝1(기약분수)이므로, m은 n 을 제외한

10k(10p−1)10^k(10^p-1)

의 약수입니다. 그런데, m의 소인수에 2도 5도 없으므로, m과 10^k 는 서로소입니다. 그래서 m은 (10^p-1)의 약수여야 합니다.그런데, m이 (10^p-1)의 약수이면,

(10p−1)×nm=정수(10^p-1)\times \frac{n}{m}=\text{정수}

이므로,

10p×x−x=정수10^p\times x-x=\text{정수}

인데, 이것은 소수점을 p자리 밀었을 때 소수 부분이 원래와 같다는 뜻입니다. 따라서, x는 소수점 첫째 자리부터 주기 p로 순환하는 순순환소수입니다. 이는 혼순환소수라는 가정에 모순 입니다. (증명완료)

∴기약분수 분모의 소인수에 2도 5도 없음 ⟺ 순순환소수\therefore \textcolor{#ff0010}{\text{기약분수 분모의 소인수에 2도 5도 없음}\ \Longleftrightarrow \ \text{순순환소수}}

4. 혼순환소수 ⟺ 분모에 2 또는 5와 그 외의 소인수가 혼재

앞의 두 결과를 써서 이 명제는 공짜로 처리하겠습니다.

(1) → 방향 증명

"혼순환소수이면, 기약분수 분모에 2, 5와 그 외의 소인수가 혼재한다."

만약 분모에 2, 5만 있다면 → 유한소수(∵2)인데, 혼순환소수는 유한소수가 아닙니다. 모순.

따라서, 2, 5 외의 소인수가 반드시 있음.

만약 분모에 2도 5도 없다면 → 순순환소수(∵3)인데, 혼순환소수는 순순환소수가 아닙니다. 모순. 따라서, 2 또는 5가 반드시 있음.

그러므로, 2 또는 5도 있고, 그 외의 소인수도 있습니다. 즉, 혼재. (증명완료)

(2) ← 방향 증명

"분모에 2, 5와 그 외의 소인수가 혼재하면, 혼순환소수이다."

2, 5 외의 소인수가 있으므로 유한소수 아님 (∵2의 대우).

2 또는 5가 있으므로 순순환소수 아님 (∵3의 대우).

유리수의 소수 표현은 유한소수·순순환소수·혼순환소수 중 반드시 하나이므로, 남는 것은 혼순환소수뿐입니다. (증명완료)

∴기약분수 분모에 2 또는 5와 그 외의 소인수가 혼재 ⟺ 혼순환소수\therefore \textcolor{#ff0010}{\text{기약분수 분모에 2 또는 5와 그 외의 소인수가 혼재}\ \Longleftrightarrow \ \text{혼순환소수}}

5. 정리

여기까지 다시 한번 정리하겠습니다.

기약분수 분모의 소인수가 2 또는 5만 ⟺ 유한소수

기약분수 분모의 소인수에 2도 5도 없음 ⟺ 순순환소수

기약분수 분모에 2 또는 5와 그 외의 소인수가 혼재 ⟺ 혼순환소수

학교 내신에서는 이것만 외워두면 됩니다. 그리고, 시험에서는 아래와 같은 느낌으로 사용하면 됩니다.

① 주어진 분수를 기약분수로 만든다. (기약이 아니면 판별 자체가 안 됩니다.)

② 분모를 소인수분해한다.

③ 소인수의 종류를 보고 위 표에 대입한다.

기약이 아닌 분수를 주고 "유한소수가 되도록 하는 자연수를 구하시오" 와 같은 문제가 빈출하는데, 결국은 약분했을 때 분모에 2, 5 외의 소인수가 남지 않도록 분자를 잡으라는 뜻이죠.

6. 참고

이 글에서는 모든 증명을 약수·배수 관계와 소인수분해만으로 진행했습니다. 합동식(mod 연산)이 보통의 중학생에게는 익숙하지 않으니까요.

정수론에서는 순환소수 관련 정리들은 오일러 정리를 쓰면 깔끔합니다. 즉, gcd(m, 10)＝1일 때,

10ϕ(m)≡1(modm)10^{\phi (m)}\equiv 1\quad (mod\quad m)

을 쓰면 간단히 증명이 됩니다. 이것은 올림피아드 버전으로 다음 기회에 올려드리겠습니다.

그리고, 순환소수에 대해 조금 더 알고 싶으시면 아래 링크도 참고해주세요~

순환소수 판별에서 기약분수 분모의 소인수 2, 5 의 역할 (feat. 순순환소수, 혼순환소수, 중2 수학) — 그림 6

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