지난번 블로그에서 알려드렸던 공식이 시험에 그대로 나왔네요 (feat. 2026 해강고 1학년 1학기 기말)
오늘은 며칠 전 치러진 해강고 1학년 1학기 기말시험에 나온 카운팅 문제를 살펴보겠습니다. 공식 하나만 외우고 있으면 공짜로 먹는 문제가 나왔네요.
문제는 아래와 같습니다.
해강고 1-1기말 12번 2026
1. 빈출은 아니지만 실수하기 쉬운 유형
이런 색칠 카운팅 문제는 가끔 나오는데, 케이스를 느낌으로 나누어 풀다가 하나 빠뜨리거나 중복해서 세어서 틀리기 쉬운 유형입니다.
그래서 이 문제는 공식하나 외워두는게 좋습니다.
심지어, 고1 문제로는 거의 n=4 만 나오기 때문에 (n=5 가 되면 문제가 복잡해져서 내신용으로 출제하기에 부담스럽습니다.) 그냥 84 를 기억해두는 것도 좋습니다.
2. 30초컷 풀이
그림을 보면, 가운데 A 는 바깥 네 영역과 모두 접하고, 바깥 B, C, D, E 는 옆끼리 맞닿아 순환그래프 C₄ 를 이룹니다.
(1) 먼저, 가운데 A 를 칠하는 방법은 5가지 이고,
A 를 칠하고 나면, 바깥 네 영역은 A 와 색이 달라야 하므로 남은 4색으로 칠하는 순환그래프 문제로 깔끔하게 정해집니다.
순환그래프 색칠의 일반적은 공식은 다음과 같습니다. (지난번 제 블로그글에 증명이 있습니다.)
이 때, m 은 영역 개수, n 은 색의 개수입니다.
지금은 영역이 4개(m=4), 색이 4개(n=4)이므로 대입하면,
따라서, 전체 방법의 수는
①번이 답입니다. 공식을 알고 있으면 30초면 끝나죠.
3. (참고) 케이스 나눠서 푸는 풀이
서술형을 대비해서, 공식 없이 고1 수준에서 직접 세는 풀이는 아래와 같습니다.
가운데 A 는 5가지. 바깥은 남은 4색으로 칠하는데, B → C → E → D 순서로 칠해 봅니다.
B : 남은 4색 중 아무거나 → 4가지
C : B 와 달라야 함 → 3가지
E : C 와 달라야 함 → 3가지
D : 이웃인 E, B 둘 다와 달라야 함
마지막 D 에서, E 가 B 와 같은 색인지 아닌지로 경우의 수가 분기됩니다.
(i) E = B 인 경우 (E 의 3가지 중 1가지) : D 는 B 만 피하면 되므로 → 3가지
(ii) E ≠ B 인 경우 (E 의 3가지 중 2가지) : D 는 서로 다른 두 색을 피해야 하므로 → 2가지
따라서, 바깥을 칠하는 방법은
이고, 전체는
당연하지만 같은 답이 나옵니다.
이 시험 전체 셋트 풀이 해설은
알티쌤 아카이브에 있습니다.
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