알티수학 쌤 보조선 #14 - 현의 길이 계산 문제 숏컷 (feat. 블랙라벨 3-2, 2017 3월 교육청 수학)
오늘도 블랙라벨 중학 3-2 에서 하나 풀어보겠습니다. 보조선만 그으면 떠올리면 암산가능한 풀이를 알려드리겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
블랙라벨 3-2 에 있는 문제인데 해설지에는 두 가지 풀이가 나와 있고 아래와 같습니다. (해설지 풀이가 그다지 쉽지 않습니다.)
해설지에 있는 첫번째 풀이
해설지에 있는 두번째 풀이
그럼 이제, 숏컷을 알려드리겠습니다.
문제에서 주어진 선분의 길이에서 눈치를 채야 합니다. 아래 그림과 같이 반원의 중심 O 를 잡습니다. 그러면 OB=√3 입니다.
BC=3, OB=√3 은 기하에서 매우 낯익은 숫자입니다. 뭘 해야 할까요? 가장 먼저 해보고 싶은것은 아래와 같이 OC 를 잇는것이죠.
그러면 △OBC 에서 피타를 써서
가 됩니다. 그러면 마찬가지로, OD=OC 가 되고, △OCD 는 정삼각형이 됩니다.
이제, 아래 그림과 같이 두 점 P, Q 를 생각하면, OP=OQ=OB=√3 (∵반지름) 이 됩니다.
즉, P 는 OC 의 중점이고, Q 는 OD 의 중점이죠. 그러면 △OCD 에서 중점연결정리로
이 됩니다.
그러면 여기서 P 점은 문제에서 H 점과 같을까요? 아래 그림과 같이 DP 를 이으면, 정삼각형 △OCD 의 꼭짓점 D 에서 마주보는 변 OC 에 내린 중선은 DP⊥OC 가 됩니다.
왜냐하면, △DPO≡△DPC (SSS) 이니까요. 즉, DP 는 반원에 대한 접선이고, P 가 접점이라서 문제에서 주어진 H 와 같은 점입니다. 마찬가지로 Q 는 G 와 같은 점이니 PQ 의 길이가 답이 되는거랍니다.
설명은 길게 적었지만, 실제로 풀면 1분도 안걸립니다.
