알티수학 쌤 보조선 #13 - 좋은 보조선은 문제를 찢어버려~ (feat. 블랙라벨 중학 3-2 도전문제, 내접원 닮음)
오늘은 블랙라벨 중학 3-2 에서 하나 풀어보겠습니다. 보조선만 그으면 암산가능한 풀이를 알려드리겠습니다.
문제는 아래와 같습니다.
직사각형 ABCD 안에서 BE:EC=1:2 이고, 사각형 ABED 와 △CDE 에 각각 내접하는 두 원 O, O' 의 넓이의 비를 구하는 문제입니다.
1. 해설지 풀이
해설지 풀이를 먼저 볼까요?
풀이 과정을 요약하면 이렇습니다.
① 원에 외접하는 사각형의 접선에 관한 성질(Pitot's theorem, AD+BE=AB+DE)로 DE 를 문자로 표현
② 피타고라스 정리로 r 에 관한 방정식을 세워서 r 을 구함
③ △CDE 의 내접원 접점을 P, Q, R 로 잡고 접선 길이를 하나하나 추적해서 r' 을 구함
④ 넓이의 비를 계산
이 방법은 과정이 길고 꽤 복잡합니다.
2. 보조선을 써봅시다!
아래 그림과 같이 AB 의 연장선과 DE 의 연장선의 교점을 P 라 잡습니다.
이 한 점이 이 문제의 전부입니다.
원 O 는 사각형 ABED 에 내접하므로, 직선 AB, 직선 DE, 직선 DA 에 모두 접합니다. 그런데, 이 세 직선이 이루는 삼각형이 바로 △APD 이죠. 원 O 는 △APD 의 내부에 있으면서 세 변에 모두 접하니, △APD 의 내접원 그 자체입니다.
즉, "사각형의 내접원" 이 "삼각형의 내접원" 으로 바뀐 거고, 삼각형의 닮음을 쓸 수 있게 됩니다.
3. 닮음으로 처리
△APD 와 △CDE 에서,
∠DAP=∠DCE=90° (직사각형의 꼭짓점) 입니다. 또, AD∥BC 이고, 직선 PE 가 횡단선이므로 ∠PDA=∠DEC (엇각) 이죠. 따라서, AA 닮음에 의해
이고,
닮음비는 BE:EC=1:2 이므로 BC=3a 로 두면 DA=BC=3a, EC=2a 이므로,
입니다.
닮은 도형에서는 모든 길이의 비가 닮음비와 같으므로, 내접원의 반지름도 마찬가지입니다. 따라서,
이고, 넓이의 비는
가 답이 됩니다.
4. 참고
이 문제에서 원 O 가 불편한 이유는, 원이 내접하는 도형이 사각형이기 때문입니다. 사각형의 내접원은 삼각형처럼 닮음으로 한 번에 처리하기가 어렵죠.
보조점 점 P 를 잡으면, 사각형의 내접원이 삼각형의 내접원으로 바뀌게되고, 닮음이라는 도구를 쓸 수 있게 됩니다.
사각형이 불편하면 삼각형으로 확장한다 — 기하에서 보조선을 긋는 대표적인 동기 중 하나입니다.
5. 결론
이 문제는 보조선을 쓰면 접선사각형 성질, 피타고라스 정리, 접선 길이 추적 등을 전부 생략할 수 있습니다.
도형 문제에서 보조선이 떠오르지 않으면 해설지처럼 길게 풀 수밖에 없는데, 좋은 보조선 하나가 문제의 구조를 완전히 바꿔놓는 경우는 많습니다.
제 수업에서는 이런 보조선의 동기와 발상법을 상세하게 다룹니다.
