센텀중 3-1 수학 2025 중간고사 기출 15번 풀어볼까요? 빠른 선행이 필요한 이유 (feat.인수분해, 원분다항식)
지난 4월에 치뤄졌던
2025 센텀중 3-1 수학 중간고사에서
15번을 물어보는 학생이 꽤 있었고,
학원 블로그에 문제 설명 올려드립니다.
문제는 아래와 같습니다.
2025 센텀중 3-1 수학 중간고사 15번
이 문제는 소수에 관한 정수론의 지식들을
좀 알면 크게 도움이 되는 문제입니다.
이 문제가 만만찮게 느끼지는 이유는
아래와 같습니다.
(1) 선택지의 85, 91, 119, 723, 1165 를 소인수분해 하려면 약간의 배수판정법을 알아야 함. 배수판정법을 모르면 계산량이 많아서 시간이 많이 걸림
(2) 선택지 ④ 의 723은 3×241 인데, 241이 소수인것을 미리 알고 있거나 √241=15.5 이하의 소수들로 모두 나눠봐야 함
(3) 선택지 ⑤ 의 1165는 5×233 인데, 이것도 233이 소수인것을 미리 알고 있거나 √233=15.2 이하의 소수들로 모두 나눠봐야 함
(4) 합차로 인수분해하면, 아래 풀이에서 4097이 나오는데, 4097=17×241 임을 찾아야 이 문제를 해결할 수 있음. 이것을 하려면 √4097=64.0 이하의 소수들로 모두 나눠봐야 함. 참고로 64 이하의 소수는 무려 18개가 있고 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 중에 하나라도 빼먹으면 안됨
학생들 말로는 위의 (4) 단계가 가장
계산이 번거로웠다고 합니다.
기본적으로, 정수론의 지식이 좀 있고,
계산력이 탄탄한 기본기가 있으면
자연스럽게 푸는 문제인데요,
시험직전에 벼락치기 하는 방식으로 공부해서
이런 문제를 대응하기는 부담이 될 수 있습니다.
그리고, 이런 류의 문제는 추후
고등학교 내신에서도 변형된 형태로 또 나옵니다.
현행이전에 선행학습을 하는 단계에서
정수론이 섞인 문제들을 좀 배워두는 것이 좋습니다.
고등학생이 되면 따로 정수론을 챙길 시간이 없고,
중학교 현행에서 시험일정에 쫓기면 뒤로 밀리다가
빠트리게 됩니다.
이 문제의 풀이를 중학교 교과과정 안에서
써본다면 아래와 같습니다.
2025 센텀중 3-1 수학 중간고사 15번 알티쌤 해설1
만약, 선행학습을 좀 해서
적어도 고1 과정까지 공부한 학생이라면,
인수분해 공식을 몇 개 더 배웠을 것이기 때문에
2¹²+1 을 인수분해 할 수 있을 것입니다.
즉, 앞의 (4) 단계에서 4097 을 소인수분해 해야하는
어려움을 피할 수 있습니다.
하나의 사례이지만 일반적으로,
어느정도 빠른 선행은 필요합니다.
선행학습이 좀 되어 있다면
아래와 같이 풀 수 있습니다.
2025 센텀중 3-1 수학 중간고사 15번 알티쌤 해설2
이 인수분해도 마냥 쉽지는 않습니다만,
참고로, 여기서 인수로 나타나는 다항식들을
cyclotomic polynomial(원분다항식) 이라고 합니다.
cyclotomic polynomial(원분다항식)
이것들은 정수범위에서 더 이상 인수분해 되지 않는데,
차수가 높아질수록 인수분해 가부가 알쏭달쏭해집니다.
이 주제는 특히,
고등학교 수행평가 소재, 과고/영재학교 내신,
대입 논술/심층 등에서 한 번씩 등장하고,
올림피이드쪽에서도 가끔 나옵니다.
저는 얼마전에 보스턴대 여름캠프(PROMYS)에
참여하려는 학생을 지도했었는데
그 캠프 참가를 위한 테스트 시험에도 관련 문제가 있었습니다.
(TMI: 이 캠프 시험은 매년 거의 똑같아서 미리 공부할 수 있습니다.)
참고로, 유명한 여름캠프들은
미국 이공계대학 진학 지원서에서는 치트키이고
국내대학 수시에서도...
모의고사, 수능, 학교기출의 풀이해설은
아래 사이트에 모아놨습니다.
오늘도 즐거운 수학생활 되십시오~
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